Номер 15.12, страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§15. Арккосинус. Решение уравнения cos t =а. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 15.12, страница 45.

Решите уравнение:

15.12 a)

$ \frac{8 \cos t - 3}{3 \cos t + 2} = 1; $

б) $ \frac{3 \cos t + 1}{2} + \frac{5 \cos t - 1}{3} = 1,75. $

а) Исходное уравнение: $ \frac{8 \cos t - 3}{3 \cos t + 2} = 1 $.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $ 3 \cos t + 2 \neq 0 $, что означает $ \cos t \neq -\frac{2}{3} $.
Для удобства решения введем замену: пусть $ x = \cos t $. При этом должно выполняться условие $ |x| \le 1 $. Уравнение примет вид: $ \frac{8x - 3}{3x + 2} = 1 $.
Умножим обе части уравнения на $ (3x + 2) $, при условии, что $ 3x + 2 \neq 0 $:$ 8x - 3 = 1 \cdot (3x + 2) $
$ 8x - 3 = 3x + 2 $
Перенесем слагаемые с $ x $ в левую часть, а числовые слагаемые в правую:
$ 8x - 3x = 2 + 3 $
$ 5x = 5 $
$ x = 1 $
Это значение удовлетворяет ОДЗ ($ 1 \neq -\frac{2}{3} $) и ограничению на косинус ($ |1| \le 1 $).
Теперь выполним обратную замену: $ \cos t = 1 $.
Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является серия корней: $ t = 2 \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ t = 2 \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

б) Исходное уравнение: $ \frac{3 \cos t + 1}{2} + \frac{5 \cos t - 1}{3} = 1,75 $.
Введем замену $ x = \cos t $, при этом помним, что $ -1 \le x \le 1 $. Также преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $ 1,75 = 1\frac{75}{100} = 1\frac{3}{4} = \frac{7}{4} $.
Уравнение принимает вид: $ \frac{3x + 1}{2} + \frac{5x - 1}{3} = \frac{7}{4} $.
Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное чисел 2, 3 и 4, которое равно 12:
$ 12 \cdot \frac{3x + 1}{2} + 12 \cdot \frac{5x - 1}{3} = 12 \cdot \frac{7}{4} $
$ 6(3x + 1) + 4(5x - 1) = 3 \cdot 7 $
Раскроем скобки и решим полученное линейное уравнение:
$ 18x + 6 + 20x - 4 = 21 $
$ 38x + 2 = 21 $
$ 38x = 19 $
$ x = \frac{19}{38} = \frac{1}{2} $
Значение $ x = \frac{1}{2} $ удовлетворяет условию $ -1 \le x \le 1 $.
Выполним обратную замену: $ \cos t = \frac{1}{2} $.
Общее решение этого уравнения: $ t = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2 \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Поскольку $ \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3} $, получаем:
$ t = \pm \frac{\pi}{3} + 2 \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ t = \pm \frac{\pi}{3} + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z} $.