Номер 15.10, страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§15. Арккосинус. Решение уравнения cos t =а. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 15.10, страница 45.

15.10 Имеет ли смысл выражение:

a) $arccos \sqrt{5}$;

б) $arccos \sqrt{\frac{2}{3}}$;

в) $arccos \frac{\pi}{5}$;

г) $arccos (-\sqrt{3})$?

Выражение $\arccos(a)$ имеет смысл тогда и только тогда, когда его аргумент $a$ принадлежит области определения функции арккосинус. Областью определения функции $y = \arccos(a)$ является отрезок $[-1, 1]$. Таким образом, для каждого выражения необходимо проверить, выполняется ли для его аргумента $a$ неравенство $-1 \le a \le 1$.

а) $\arccos \sqrt{5}$

Проверим, принадлежит ли аргумент $\sqrt{5}$ отрезку $[-1, 1]$. Известно, что $2^2 = 4$ и $3^2 = 9$. Поскольку $4 < 5$, то $\sqrt{4} < \sqrt{5}$, следовательно, $2 < \sqrt{5}$. Так как $\sqrt{5} > 1$, то значение $\sqrt{5}$ не принадлежит отрезку $[-1, 1]$.

Ответ: не имеет смысла.

б) $\arccos \sqrt{\frac{2}{3}}$

Проверим, принадлежит ли аргумент $\sqrt{\frac{2}{3}}$ отрезку $[-1, 1]$. Поскольку $\frac{2}{3}$ является положительным числом, то $\sqrt{\frac{2}{3}} > 0$. Сравним $\frac{2}{3}$ с $1$. Так как $2 < 3$, то $\frac{2}{3} < 1$. Из того, что $\frac{2}{3} < 1$, следует, что $\sqrt{\frac{2}{3}} < \sqrt{1} = 1$. Таким образом, мы получили, что $0 < \sqrt{\frac{2}{3}} < 1$. Это означает, что значение $\sqrt{\frac{2}{3}}$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$.

Ответ: имеет смысл.

в) $\arccos \frac{\pi}{5}$

Проверим, принадлежит ли аргумент $\frac{\pi}{5}$ отрезку $[-1, 1]$. Используем приближенное значение $\pi \approx 3,14159$. Тогда $\frac{\pi}{5} \approx \frac{3,14159}{5} \approx 0,628$. Так как $-1 \le 0,628 \le 1$, значение $\frac{\pi}{5}$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$.

Ответ: имеет смысл.

г) $\arccos (-\sqrt{3})$

Проверим, принадлежит ли аргумент $-\sqrt{3}$ отрезку $[-1, 1]$. Известно, что $1^2 = 1$ и $2^2 = 4$. Поскольку $3 > 1$, то $\sqrt{3} > \sqrt{1}$, следовательно, $\sqrt{3} > 1$. Умножив неравенство на $-1$, получим $-\sqrt{3} < -1$. Так как $-\sqrt{3} < -1$, значение $-\sqrt{3}$ не принадлежит отрезку $[-1, 1]$.

Ответ: не имеет смысла.