Номер 15.17, страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§15. Арккосинус. Решение уравнения cos t =а. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 15.17, страница 46.

Решите неравенство:

15.17 a) $cos t > \frac{1}{2}$;

б) $cos t \leq - \frac{\sqrt{2}}{2}$;

в) $cos t \geq - \frac{\sqrt{2}}{2}$;

г) $cos t < \frac{1}{2}$.

a) Для решения неравенства $ \cos t > \frac{1}{2} $ воспользуемся тригонометрической окружностью. Косинус угла $t$ – это абсцисса точки на единичной окружности, соответствующей этому углу. Нам нужно найти все такие углы $t$, для которых абсцисса соответствующей точки больше $ \frac{1}{2} $.
Сначала решим уравнение $ \cos t = \frac{1}{2} $. На промежутке $ [-\pi, \pi] $ корнями этого уравнения являются $ t_1 = -\frac{\pi}{3} $ и $ t_2 = \frac{\pi}{3} $.
На единичной окружности отметим точки, соответствующие этим углам, и проведем вертикальную прямую $ x = \frac{1}{2} $. Неравенству $ \cos t > \frac{1}{2} $ удовлетворяют все точки на дуге, расположенной правее этой прямой.
Двигаясь по окружности против часовой стрелки, мы видим, что искомая дуга начинается в точке $ -\frac{\pi}{3} $ и заканчивается в точке $ \frac{\pi}{3} $. Таким образом, решение на одном обороте: $ -\frac{\pi}{3} < t < \frac{\pi}{3} $.
Так как функция косинуса периодична с периодом $ 2\pi $, общее решение неравенства имеет вид: $ -\frac{\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{\pi}{3} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ t \in (-\frac{\pi}{3} + 2\pi k; \frac{\pi}{3} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $.

б) Решим неравенство $ \cos t \le -\frac{\sqrt{2}}{2} $. На единичной окружности найдем точки, для которых абсцисса (косинус) меньше или равна $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
Сначала решим уравнение $ \cos t = -\frac{\sqrt{2}}{2} $. На промежутке $ [0, 2\pi] $ его корнями являются $ t_1 = \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\pi}{4} $ и $ t_2 = 2\pi - \frac{3\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} $.
Отметим эти точки на единичной окружности. Неравенству $ \cos t \le -\frac{\sqrt{2}}{2} $ удовлетворяют все точки на дуге, расположенной левее прямой $ x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $, включая точки на самой прямой.
Двигаясь по окружности против часовой стрелки, видим, что эта дуга начинается в точке $ \frac{3\pi}{4} $ и заканчивается в точке $ \frac{5\pi}{4} $. Таким образом, решение на одном обороте: $ \frac{3\pi}{4} \le t \le \frac{5\pi}{4} $.
Учитывая периодичность функции косинуса ($ T=2\pi $), получаем общее решение: $ \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le t \le \frac{5\pi}{4} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ t \in [\frac{3\pi}{4} + 2\pi k; \frac{5\pi}{4} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z} $.

в) Решим неравенство $ \cos t \ge -\frac{\sqrt{2}}{2} $. На единичной окружности найдем точки, для которых абсцисса больше или равна $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
Корни уравнения $ \cos t = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ на промежутке $ [-\pi, \pi] $ это $ t_1 = -\frac{3\pi}{4} $ и $ t_2 = \frac{3\pi}{4} $.
Неравенству $ \cos t \ge -\frac{\sqrt{2}}{2} $ удовлетворяют все точки на дуге, расположенной правее прямой $ x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $, включая точки на самой прямой.
Двигаясь по окружности от $ -\frac{3\pi}{4} $ к $ \frac{3\pi}{4} $ против часовой стрелки, мы получаем искомый интервал. Решение на одном обороте: $ -\frac{3\pi}{4} \le t \le \frac{3\pi}{4} $.
Общее решение с учетом периодичности: $ -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le t \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ t \in [-\frac{3\pi}{4} + 2\pi k; \frac{3\pi}{4} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z} $.

г) Решим неравенство $ \cos t < \frac{1}{2} $. На единичной окружности найдем точки, для которых абсцисса меньше $ \frac{1}{2} $.
Корни уравнения $ \cos t = \frac{1}{2} $ на промежутке $ [0, 2\pi] $ это $ t_1 = \frac{\pi}{3} $ и $ t_2 = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} $.
Неравенству $ \cos t < \frac{1}{2} $ удовлетворяют все точки на дуге, расположенной левее прямой $ x = \frac{1}{2} $.
Двигаясь по окружности от $ \frac{\pi}{3} $ к $ \frac{5\pi}{3} $ против часовой стрелки, мы получаем искомый интервал. Решение на одном обороте: $ \frac{\pi}{3} < t < \frac{5\pi}{3} $.
Общее решение с учетом периодичности: $ \frac{\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{5\pi}{3} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ t \in (\frac{\pi}{3} + 2\pi k; \frac{5\pi}{3} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $.