Номер 16.2, страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§16. Арксинус. Решение уравнения sin t = a. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 16.2, страница 47.

16.2 a) $\arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$;

б) $\arcsin \left(-\frac{1}{2}\right)$;

в) $\arcsin (-1)$;

г) $\arcsin \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right).$

а) Требуется найти значение выражения $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

По определению, арксинус числа $a$ — это такое число (угол) $\alpha$ из отрезка $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, что $\sin(\alpha) = a$.

Для арксинуса справедливо свойство нечетности: $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$.

Применим это свойство к нашему выражению:

$\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Теперь найдем значение $\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Нам нужен угол из промежутка $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, синус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Из таблицы значений тригонометрических функций мы знаем, что таким углом является $\frac{\pi}{3}$.

Следовательно, $\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$.

Подставляя это значение обратно, получаем:

$\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{3}$.

б) Требуется найти значение выражения $\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)$.

Воспользуемся свойством нечетности функции арксинус: $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$.

$\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\arcsin\left(\frac{1}{2}\right)$.

Нам нужно найти угол из промежутка $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, синус которого равен $\frac{1}{2}$. Таким углом является $\frac{\pi}{6}$.

Значит, $\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$.

Отсюда следует, что:

$\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{6}$.

в) Требуется найти значение выражения $\arcsin(-1)$.

Используем свойство нечетности: $\arcsin(-1) = -\arcsin(1)$.

Нам нужно найти угол из промежутка $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, синус которого равен $1$. Этим углом является $\frac{\pi}{2}$.

Следовательно, $\arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$.

Тогда:

$\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$.

Проверим по определению: мы ищем угол $\alpha \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, такой что $\sin(\alpha) = -1$. Этому условию удовлетворяет угол $\alpha = -\frac{\pi}{2}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{2}$.

г) Требуется найти значение выражения $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Снова применяем свойство нечетности арксинуса: $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$.

$\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Найдем угол из промежутка $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, синус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Таким углом является $\frac{\pi}{4}$.

Значит, $\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$.

Тогда получаем:

$\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\pi}{4}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{4}$.