Номер 16.4, страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§16. Арксинус. Решение уравнения sin t = a. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 16.4, страница 47.

16.4 a) $arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + arcsin\left(-\frac{1}{2}\right);$

б) $arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - arcsin(-1);$

в) $arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right);$

г) $arccos\frac{\sqrt{2}}{2} - arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right).$

а) Для вычисления значения выражения $ \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) $ воспользуемся тождеством $ \arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2} $, которое справедливо для всех $ x \in [-1, 1] $. Так как $ x = -\frac{1}{2} $ принадлежит этому отрезку, то значение всего выражения равно $ \frac{\pi}{2} $.
Для проверки решим по действиям:
1. Найдём значение $ \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) $. По определению, это угол из промежутка $ [0, \pi] $, косинус которого равен $ -\frac{1}{2} $. Используя формулу $ \arccos(-a) = \pi - \arccos(a) $, получаем:
$ \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} $.
2. Найдём значение $ \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) $. По определению, это угол из промежутка $ \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $, синус которого равен $ -\frac{1}{2} $. Используя свойство нечетности арксинуса $ \arcsin(-a) = -\arcsin(a) $, получаем:
$ \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6} $.
3. Сложим полученные значения:
$ \frac{2\pi}{3} + \left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{4\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2} $.
Ответ: $ \frac{\pi}{2} $.

б) Вычислим значение выражения $ \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \arcsin(-1) $ по действиям.
1. Найдём значение $ \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $. Это угол из промежутка $ [0, \pi] $, косинус которого равен $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
$ \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} $.
2. Найдём значение $ \arcsin(-1) $. Это угол из промежутка $ \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $, синус которого равен $ -1 $.
$ \arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2} $.
3. Выполним вычитание:
$ \frac{3\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4} + \frac{2\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} $.
Ответ: $ \frac{5\pi}{4} $.

в) Для вычисления значения выражения $ \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) $ можно, как и в пункте а), использовать тождество $ \arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2} $.
В данном случае $ x = -\frac{\sqrt{3}}{2} $, что принадлежит отрезку $ [-1, 1] $, поэтому значение выражения равно $ \frac{\pi}{2} $.
Проверим вычислением по действиям:
1. Найдём значение $ \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) $. Это угол из промежутка $ [0, \pi] $, косинус которого равен $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
$ \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $.
2. Найдём значение $ \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) $. Это угол из промежутка $ \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $, синус которого равен $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
$ \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3} $.
3. Сложим полученные результаты:
$ \frac{5\pi}{6} + \left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{5\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2} $.
Ответ: $ \frac{\pi}{2} $.

г) Вычислим значение выражения $ \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) $ по действиям.
1. Найдём значение $ \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $. Это угол из промежутка $ [0, \pi] $, косинус которого равен $ \frac{\sqrt{2}}{2} $.
$ \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4} $.
2. Найдём значение $ \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) $. Это угол из промежутка $ \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $, синус которого равен $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
$ \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3} $.
3. Выполним вычитание:
$ \frac{\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{12} + \frac{4\pi}{12} = \frac{7\pi}{12} $.
Ответ: $ \frac{7\pi}{12} $.