Номер 16.10, страница 48, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§16. Арксинус. Решение уравнения sin t = a. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 16.10, страница 48.

16.10 a) $\sin t = \frac{1}{4}$;

б) $\sin t = 1,02$;

В) $\sin t = -\frac{1}{7}$;

Г) $\sin t = \frac{\pi}{3}$.

а) Решим уравнение $ \sin t = \frac{1}{4} $.

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $ \sin x = a $. Общее решение для такого уравнения дается формулой $ t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

В данном случае $ a = \frac{1}{4} $. Так как $ -1 \le \frac{1}{4} \le 1 $, уравнение имеет решения.

Подставляем значение $ a $ в формулу:

$ t = (-1)^n \arcsin\frac{1}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Значение $ \arcsin\frac{1}{4} $ не является табличным, поэтому ответ оставляем в таком виде.

Ответ: $ t = (-1)^n \arcsin\frac{1}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

б) Решим уравнение $ \sin t = 1,02 $.

Область значений функции синус — это отрезок $ [-1; 1] $. То есть, для любого действительного числа $ t $ выполняется неравенство $ -1 \le \sin t \le 1 $.

В данном уравнении требуется найти такое $ t $, для которого $ \sin t = 1,02 $. Поскольку $ 1,02 > 1 $, это значение не входит в область значений функции синус.

Следовательно, данное уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: решений нет.

в) Решим уравнение $ \sin t = -\frac{1}{7} $.

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $ \sin x = a $. Общее решение для такого уравнения дается формулой $ t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

В данном случае $ a = -\frac{1}{7} $. Так как $ -1 \le -\frac{1}{7} \le 1 $, уравнение имеет решения.

Используем свойство арксинуса: $ \arcsin(-x) = -\arcsin(x) $.

$ \arcsin(-\frac{1}{7}) = -\arcsin\frac{1}{7} $.

Подставляем в общую формулу:

$ t = (-1)^n \left(-\arcsin\frac{1}{7}\right) + \pi n = (-1)^{n+1} \arcsin\frac{1}{7} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ t = (-1)^{n+1} \arcsin\frac{1}{7} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

г) Решим уравнение $ \sin t = \frac{\pi}{3} $.

Область значений функции синус — это отрезок $ [-1; 1] $. То есть, для любого действительного числа $ t $ выполняется неравенство $ -1 \le \sin t \le 1 $.

В данном уравнении требуется найти такое $ t $, для которого $ \sin t = \frac{\pi}{3} $. Оценим значение $ \frac{\pi}{3} $.

Приближенное значение числа $ \pi $ равно 3,14159... . Тогда $ \frac{\pi}{3} \approx \frac{3,14159}{3} \approx 1,047 $.

Поскольку $ \frac{\pi}{3} > 1 $, это значение не входит в область значений функции синус.

Следовательно, данное уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: решений нет.