Номер 16.16, страница 49, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§16. Арксинус. Решение уравнения sin t = a. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 16.16, страница 49.

16.16 a) $6\sin^2 x + \sin x = 2;$

б) $3\cos^2 x = 7(\sin x + 1).$

а) $6\sin^2x + \sin x = 2$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно $\sin x$:

$6\sin^2x + \sin x - 2 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Так как область значений функции синус от -1 до 1 включительно, то должно выполняться условие $|t| \le 1$.

Получаем квадратное уравнение:

$6t^2 + t - 2 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-2) = 1 + 48 = 49 = 7^2$

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 7}{2 \cdot 6} = \frac{-8}{12} = -\frac{2}{3}$

Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$.

Вернемся к замене:

1) $\sin x = \frac{1}{2}$

Решения этого уравнения имеют вид:

$x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) $\sin x = -\frac{2}{3}$

Решения этого уравнения имеют вид:

$x = (-1)^k \arcsin\left(-\frac{2}{3}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Используя свойство нечетности арксинуса $\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$, получаем:

$x = -(-1)^k \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + \pi k = (-1)^{k+1} \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^{k+1} \arcsin\frac{2}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

---

б) $3\cos^2x = 7(\sin x + 1)$

Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2x = 1 - \sin^2x$, чтобы привести уравнение к одной функции $\sin x$.

$3(1 - \sin^2x) = 7(\sin x + 1)$

Раскроем скобки:

$3 - 3\sin^2x = 7\sin x + 7$

Перенесем все члены в правую часть и приведем подобные слагаемые:

$0 = 3\sin^2x + 7\sin x + 7 - 3$

$3\sin^2x + 7\sin x + 4 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \sin x$, где $|y| \le 1$.

$3y^2 + 7y + 4 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1$

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 1}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 1}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$

Проверим корни на соответствие условию $|y| \le 1$.

Корень $y_1 = -1$ удовлетворяет условию.

Корень $y_2 = -\frac{4}{3}$ не удовлетворяет условию, так как $-\frac{4}{3} < -1$. Этот корень является посторонним.

Возвращаемся к замене с единственным подходящим корнем:

$\sin x = -1$

Это частный случай тригонометрического уравнения, решение которого:

$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.