Номер 16.13, страница 49, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§16. Арксинус. Решение уравнения sin t = a. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 16.13, страница 49.

Сколько корней имеет заданное уравнение на заданном промежутке:

16.13 a) $sin x = 0,6, x \in \left[\frac{\pi}{4}; 3\pi\right];$

б) $sin x = -\frac{2}{3}, x \in (2; 7)?$

а) Требуется найти количество корней уравнения $sin(x) = 0,6$ на промежутке $x \in [\frac{\pi}{4}; 3\pi]$.

Для решения задачи проанализируем поведение функции $y = \sin(x)$ на заданном промежутке. Для начала оценим значения синуса на концах промежутка:

• При $x = \frac{\pi}{4}$, значение синуса равно $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,707$.
• При $x = 3\pi$, значение синуса равно $\sin(3\pi) = 0$.

Разобьем заданный промежуток $[\frac{\pi}{4}; 3\pi]$ на участки монотонности функции $\sin(x)$:

1. Промежуток $[\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}]$.
   На этом участке функция $\sin(x)$ возрастает от $\sin(\frac{\pi}{4}) \approx 0,707$ до $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$. Поскольку все значения функции на этом участке больше $0,6$, то корней здесь нет.
2. Промежуток $(\frac{\pi}{2}; \pi]$.
   На этом участке функция $\sin(x)$ убывает от $1$ до $0$. Так как $0 < 0,6 < 1$, функция $\sin(x)$ пересекает прямую $y = 0,6$ ровно один раз. Следовательно, здесь есть один корень.
3. Промежуток $(\pi; 2\pi]$.
   На этом участке функция $\sin(x)$ принимает неположительные значения (от $0$ до $-1$ и обратно до $0$). Так как $0,6 > 0$, корней здесь нет.
4. Промежуток $(2\pi; \frac{5\pi}{2}]$.
   На этом участке функция $\sin(x)$ возрастает от $0$ до $1$. Так как $0 < 0,6 < 1$, функция $\sin(x)$ пересекает прямую $y = 0,6$ ровно один раз. Здесь есть один корень.
5. Промежуток $(\frac{5\pi}{2}; 3\pi]$.
   На этом участке функция $\sin(x)$ убывает от $1$ до $0$. Так как $0 < 0,6 < 1$, функция $\sin(x)$ пересекает прямую $y = 0,6$ ровно один раз. Здесь есть один корень.

Суммируя количество корней на каждом участке, получаем: $0 + 1 + 0 + 1 + 1 = 3$.

Ответ: 3.

б) Требуется найти количество корней уравнения $\sin(x) = -\frac{2}{3}$ на промежутке $x \in (2; 7)$.

Для решения задачи сопоставим числовой промежуток $(2; 7)$ с характерными точками тригонометрической окружности, используя приближенное значение $\pi \approx 3,14$:

• $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$
• $\pi \approx 3,14$
• $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$
• $2\pi \approx 6,28$
• $\frac{5\pi}{2} \approx 7,85$

Отсюда видно, что:

• $2$ радиана находятся в промежутке $(\frac{\pi}{2}; \pi)$, то есть во второй четверти, где синус положителен.
• $7$ радиан находятся в промежутке $(2\pi; \frac{5\pi}{2})$, то есть в первой четверти нового оборота, где синус также положителен.

Уравнение $\sin(x) = -\frac{2}{3}$ имеет корни только тогда, когда $\sin(x)$ отрицателен, что соответствует третьей и четвертой четвертям, то есть промежутку $(\pi; 2\pi)$.

Проверим, как наш интервал $(2; 7)$ пересекается с промежутком $(\pi; 2\pi)$: Поскольку $2 < \pi \approx 3,14$ и $2\pi \approx 6,28 < 7$, то весь промежуток $(\pi; 2\pi)$ полностью содержится внутри заданного интервала $(2; 7)$.

Теперь найдем количество корней на промежутке $(\pi; 2\pi)$:

1. На промежутке $(\pi; \frac{3\pi}{2})$ функция $\sin(x)$ убывает от $0$ до $-1$. Так как $-1 < -\frac{2}{3} < 0$, на этом участке есть ровно один корень.
2. На промежутке $(\frac{3\pi}{2}; 2\pi)$ функция $\sin(x)$ возрастает от $-1$ до $0$. Так как $-1 < -\frac{2}{3} < 0$, на этом участке также есть ровно один корень.

Вне промежутка $(\pi; 2\pi)$, но внутри $(2; 7)$, то есть на участках $(2; \pi)$ и $(2\pi; 7)$, функция $\sin(x)$ положительна, а значит, корней уравнения $\sin(x) = -\frac{2}{3}$ там нет.

Общее количество корней равно $1 + 1 = 2$.

Ответ: 2.