Номер 16.18, страница 49, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§16. Арксинус. Решение уравнения sin t = a. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 16.18, страница 49.

16.18 a) $\sin t < \frac{1}{3}$;

б) $\sin t \ge -0.6$;

В) $\sin t \ge \frac{1}{3}$;

Г) $\sin t < -0.6$.

а) $ \sin t < \frac{1}{3} $

Для решения данного тригонометрического неравенства воспользуемся единичной окружностью. Сначала найдем значения $t$, для которых выполняется равенство $ \sin t = \frac{1}{3} $. На одном обороте ($[0, 2\pi)$) это углы $ t_1 = \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) $ (в первой координатной четверти) и $ t_2 = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) $ (во второй координатной четверти).
На единичной окружности значение $ \sin t $ соответствует ординате (координате y) точки, отвечающей углу $t$. Неравенство $ \sin t < \frac{1}{3} $ будет выполняться для тех точек на окружности, ордината которых меньше $ \frac{1}{3} $. Геометрически это соответствует дуге окружности, которая расположена ниже горизонтальной прямой $ y = \frac{1}{3} $.
Двигаясь против часовой стрелки, эта дуга начинается от точки $ \pi - \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) $ и заканчивается в точке $ \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) $ на следующем обороте. Чтобы записать решение в виде одного интервала, можно использовать эквивалентные углы. Например, интервал $ \left(-\pi - \arcsin\left(\frac{1}{3}\right), \arcsin\left(\frac{1}{3}\right)\right) $ описывает искомое множество на одном из промежутков.
Так как функция синуса периодична с периодом $2\pi$, общее решение неравенства получается добавлением $2\pi k$ к границам найденного интервала, где $k$ — любое целое число.
Ответ: $ t \in \left(-\pi - \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi k; \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi k\right), k \in \mathbb{Z} $.

б) $ \sin t \ge -0,6 $

Сначала решим уравнение $ \sin t = -0,6 $. Его решениями являются $ t = \arcsin(-0,6) $ и $ t = \pi - \arcsin(-0,6) $. Используя свойство нечетности арксинуса $ \arcsin(-x) = -\arcsin(x) $, получаем два основных значения: $ t_1 = -\arcsin(0,6) $ (угол в четвертой четверти) и $ t_2 = \pi - (-\arcsin(0,6)) = \pi + \arcsin(0,6) $ (угол в третьей четверти).
Нам нужны все точки на единичной окружности, ордината (y) которых больше или равна $ -0,6 $. Это дуга окружности, расположенная на и выше прямой $ y = -0,6 $.
При движении против часовой стрелки эта дуга начинается в точке $ t_1 = -\arcsin(0,6) $ и заканчивается в точке $ t_2 = \pi + \arcsin(0,6) $.
С учетом периодичности функции синус, общее решение неравенства записывается в виде:
Ответ: $ t \in \left[-\arcsin(0,6) + 2\pi k; \pi + \arcsin(0,6) + 2\pi k\right], k \in \mathbb{Z} $.

в) $ \sin t \ge \frac{1}{3} $

Граничные точки интервала найдем из уравнения $ \sin t = \frac{1}{3} $. Как и в пункте а), это $ t_1 = \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) $ и $ t_2 = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) $.
Нам нужны точки на единичной окружности, ордината которых больше или равна $ \frac{1}{3} $. Это соответствует дуге, расположенной на и выше прямой $ y = \frac{1}{3} $.
Эта дуга заключена между точками $ t_1 $ и $ t_2 $. При движении против часовой стрелки, интервал начинается в $ t_1 = \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) $ и заканчивается в $ t_2 = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) $.
Добавляя период $2\pi$, получаем общее решение.
Ответ: $ t \in \left[\arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi k; \pi - \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi k\right], k \in \mathbb{Z} $.

г) $ \sin t < -0,6 $

Граничные точки найдем из уравнения $ \sin t = -0,6 $. Как и в пункте б), это $ t_1 = -\arcsin(0,6) $ и $ t_2 = \pi + \arcsin(0,6) $.
Нам нужны точки на единичной окружности, ордината которых строго меньше $ -0,6 $. Это соответствует дуге, расположенной под прямой $ y = -0,6 $.
При движении против часовой стрелки, эта дуга начинается в точке $ t_2 = \pi + \arcsin(0,6) $ и заканчивается в точке $ t_1 $. Чтобы интервал был возрастающим, представим $t_1$ на следующем обороте: $ t_1' = -\arcsin(0,6) + 2\pi = 2\pi - \arcsin(0,6) $.
Таким образом, с учетом периодичности, общее решение неравенства:
Ответ: $ t \in \left(\pi + \arcsin(0,6) + 2\pi k; 2\pi - \arcsin(0,6) + 2\pi k\right), k \in \mathbb{Z} $.