Номер 17.4, страница 50, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§17. Арктангенс и арккотангенс. Решение уравнений tg x = a, ctg x = a. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 17.4, страница 50.

17.4 а) $ \operatorname{arcctg}(-1) + \operatorname{arcctg}(-1); $

б) $ \arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \operatorname{arcctg}(-\sqrt{3}); $

в) $ \operatorname{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) - \operatorname{arcctg}\frac{\sqrt{3}}{3}; $

г) $ \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) - \operatorname{arcctg}(-\sqrt{3}). $

а) Для решения выражения $arcctg(-1) + arctg(-1)$ необходимо найти значения каждой из аркфункций, основываясь на их определениях и свойствах.
Арккотангенс, $y = arcctg(x)$, — это угол из интервала $(0; \pi)$, котангенс которого равен $x$. Для отрицательных аргументов используется свойство: $arcctg(-x) = \pi - arcctg(x)$.
Найдем $arcctg(-1)$:
$arcctg(-1) = \pi - arcctg(1)$.
Мы знаем, что $ctg(\frac{\pi}{4}) = 1$, поэтому $arcctg(1) = \frac{\pi}{4}$.
Следовательно, $arcctg(-1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
Арктангенс, $y = arctg(x)$, — это угол из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $x$. Арктангенс является нечетной функцией, то есть $arctg(-x) = -arctg(x)$.
Найдем $arctg(-1)$:
$arctg(-1) = -arctg(1)$.
Мы знаем, что $tg(\frac{\pi}{4}) = 1$, поэтому $arctg(1) = \frac{\pi}{4}$.
Следовательно, $arctg(-1) = -\frac{\pi}{4}$.
Теперь сложим полученные значения:
$arcctg(-1) + arctg(-1) = \frac{3\pi}{4} + (-\frac{\pi}{4}) = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

б) Рассмотрим выражение $arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + arcctg(-\sqrt{3})$.
Арксинус, $y = arcsin(x)$, — это угол из отрезка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $x$. Арксинус является нечетной функцией: $arcsin(-x) = -arcsin(x)$.
Найдем $arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2})$:
$arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2})$.
Так как $sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то $arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.
Следовательно, $arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$.
Найдем $arcctg(-\sqrt{3})$, используя свойство $arcctg(-x) = \pi - arcctg(x)$.
$arcctg(-\sqrt{3}) = \pi - arcctg(\sqrt{3})$.
Так как $ctg(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$, то $arcctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$.
Следовательно, $arcctg(-\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Теперь сложим полученные значения:
$arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + arcctg(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{4} + \frac{5\pi}{6}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 12:
$-\frac{3\pi}{12} + \frac{10\pi}{12} = \frac{7\pi}{12}$.
Ответ: $\frac{7\pi}{12}$.

в) Рассмотрим выражение $arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) - arctg(\frac{\sqrt{3}}{3})$.
Найдем значение $arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3})$, используя свойство $arcctg(-x) = \pi - arcctg(x)$.
$arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3})$.
Так как $ctg(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$, то $arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3}$.
Следовательно, $arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Найдем значение $arctg(\frac{\sqrt{3}}{3})$.
Так как $tg(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$, то $arctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$.
Теперь найдем разность:
$arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) - arctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 6:
$\frac{4\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

г) Рассмотрим выражение $arccos(-\frac{1}{2}) - arcctg(-\sqrt{3})$.
Арккосинус, $y = arccos(x)$, — это угол из отрезка $[0; \pi]$, косинус которого равен $x$. Для него справедливо свойство: $arccos(-x) = \pi - arccos(x)$.
Найдем $arccos(-\frac{1}{2})$:
$arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - arccos(\frac{1}{2})$.
Так как $cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, то $arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.
Следовательно, $arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Значение $arcctg(-\sqrt{3})$ было найдено в пункте б): $arcctg(-\sqrt{3}) = \frac{5\pi}{6}$.
Теперь найдем разность:
$arccos(-\frac{1}{2}) - arcctg(-\sqrt{3}) = \frac{2\pi}{3} - \frac{5\pi}{6}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 6:
$\frac{4\pi}{6} - \frac{5\pi}{6} = -\frac{\pi}{6}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{6}$.