Номер 17.7, страница 51, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

17.7 a) $ \tg(\text{arcctg } 1); $

б) $ \sin(\text{arcctg } \sqrt{3}); $

в) $ \cos(\text{arcctg}(-1)); $

г) $ \ctg\left(2 \text{arcctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\right). $

a) tg(arcctg 1)

По определению арккотангенса, $arcctg(1)$ — это угол $α$ из интервала $(0, π)$, для которого $ctg(α) = 1$. Этим углом является $α = π/4$.
Таким образом, выражение принимает вид: $tg(arcctg 1) = tg(π/4)$.
Значение тангенса для этого угла равно $1$.
В качестве альтернативного решения можно использовать тождество $tg(arcctg(x)) = 1/x$.
Подставив $x=1$, получаем: $tg(arcctg 1) = 1/1 = 1$.

Ответ: $1$

б) sin(arcctg √3)

Пусть $α = arcctg(√3)$. По определению арккотангенса, $ctg α = √3$ и $α$ принадлежит интервалу $(0, π)$. Нам нужно найти $sin α$.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим синус и котангенс: $1 + ctg^2 α = 1/sin^2 α$.
Подставим известное значение $ctg α$ в формулу:
$1 + (√3)^2 = 1/sin^2 α$
$1 + 3 = 1/sin^2 α$
$4 = 1/sin^2 α$
$sin^2 α = 1/4$
Поскольку $α$ находится в интервале $(0, π)$, $sin α$ должен быть положительным. Следовательно, извлекаем положительный квадратный корень:
$sin α = √(1/4) = 1/2$.

Ответ: $1/2$

в) cos(arcctg(-1))

Пусть $α = arcctg(-1)$. По определению арккотангенса, $ctg α = -1$ и $α$ принадлежит интервалу $(0, π)$. Нам нужно найти $cos α$.
Так как $ctg α$ отрицателен, а $α ∈ (0, π)$, угол $α$ находится во второй четверти ($π/2 < α < π$), где $cos α$ отрицателен.
Воспользуемся тождеством $arcctg(-x) = π - arcctg(x)$:
$α = arcctg(-1) = π - arcctg(1) = π - π/4 = 3π/4$.
Теперь вычислим $cos(3π/4)$:
$cos(3π/4) = cos(π - π/4) = -cos(π/4) = -√2/2$.

Ответ: $-√2/2$

г) ctg(2 arcctg(-1/√3))

Пусть $α = arcctg(-1/√3)$. Тогда требуется вычислить $ctg(2α)$.
Из определения арккотангенса следует, что $ctg α = -1/√3$.
Используем формулу котангенса двойного угла: $ctg(2α) = (ctg^2 α - 1) / (2 ctg α)$.
Подставим значение $ctg α = -1/√3$ в эту формулу:
$ctg(2α) = ((-1/√3)^2 - 1) / (2 * (-1/√3))$
$= ((1/3) - 1) / (-2/√3)$
$= (-2/3) / (-2/√3)$
Упростим полученное выражение:
$= (-2/3) * (√3 / -2) = √3/3$.

Ответ: $√3/3$