Номер 17.7, страница 51, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§17. Арктангенс и арккотангенс. Решение уравнений tg x = a, ctg x = a. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 17.7, страница 51.

17.7 a) $ \tg(\text{arcctg } 1); $

б) $ \sin(\text{arcctg } \sqrt{3}); $

в) $ \cos(\text{arcctg}(-1)); $

г) $ \ctg\left(2 \text{arcctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\right). $

a) tg(arcctg 1)

По определению арккотангенса, `arcctg(1)` — это угол `α` из интервала `(0, π)`, для которого `ctg(α) = 1`. Этим углом является `α = π/4`.
Таким образом, выражение принимает вид: `tg(arcctg 1) = tg(π/4)`.
Значение тангенса для этого угла равно `1`.
В качестве альтернативного решения можно использовать тождество `tg(arcctg(x)) = 1/x`.
Подставив `x=1`, получаем: `tg(arcctg 1) = 1/1 = 1`.

Ответ: $1$

б) sin(arcctg √3)

Пусть `α = arcctg(√3)`. По определению арккотангенса, `ctg α = √3` и `α` принадлежит интервалу `(0, π)`. Нам нужно найти `sin α`.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим синус и котангенс: `1 + ctg^2 α = 1/sin^2 α`.
Подставим известное значение `ctg α` в формулу:
`1 + (√3)^2 = 1/sin^2 α`
`1 + 3 = 1/sin^2 α`
`4 = 1/sin^2 α`
`sin^2 α = 1/4`
Поскольку `α` находится в интервале `(0, π)`, `sin α` должен быть положительным. Следовательно, извлекаем положительный квадратный корень:
`sin α = √(1/4) = 1/2`.

Ответ: $1/2$

в) cos(arcctg(-1))

Пусть `α = arcctg(-1)`. По определению арккотангенса, `ctg α = -1` и `α` принадлежит интервалу `(0, π)`. Нам нужно найти `cos α`.
Так как `ctg α` отрицателен, а `α ∈ (0, π)`, угол `α` находится во второй четверти (`π/2 < α < π`), где `cos α` отрицателен.
Воспользуемся тождеством `arcctg(-x) = π - arcctg(x)`:
`α = arcctg(-1) = π - arcctg(1) = π - π/4 = 3π/4`.
Теперь вычислим `cos(3π/4)`:
`cos(3π/4) = cos(π - π/4) = -cos(π/4) = -√2/2`.

Ответ: $-√2/2$

г) ctg(2 arcctg(-1/√3))

Пусть `α = arcctg(-1/√3)`. Тогда требуется вычислить `ctg(2α)`.
Из определения арккотангенса следует, что `ctg α = -1/√3`.
Используем формулу котангенса двойного угла: `ctg(2α) = (ctg^2 α - 1) / (2 ctg α)`.
Подставим значение `ctg α = -1/√3` в эту формулу:
`ctg(2α) = ((-1/√3)^2 - 1) / (2 * (-1/√3))`
`= ((1/3) - 1) / (-2/√3)`
`= (-2/3) / (-2/√3)`
Упростим полученное выражение:
`= (-2/3) * (√3 / -2) = √3/3`.

Ответ: $√3/3$