Номер 17.13, страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§17. Арктангенс и арккотангенс. Решение уравнений tg x = a, ctg x = a. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 17.13, страница 52.

17.13 a) $tg^2 x - 3 = 0$;

Б) $2 tg^2 x + 3 tg x = 0$;

В) $4 tg^2 x - 9 = 0$;

Г) $3 tg^2 x - 2 tg x = 0$.

а) $\text{tg}^2 x - 3 = 0$

Это уравнение является квадратным относительно $\text{tg} x$.
Перенесем свободный член в правую часть уравнения:
$\text{tg}^2 x = 3$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$\text{tg} x = \pm\sqrt{3}$
Это приводит к двум независимым уравнениям:
1) $\text{tg} x = \sqrt{3}$. Решением является серия корней $x = \text{arctg}(\sqrt{3}) + \pi n$, что равно $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $\text{tg} x = -\sqrt{3}$. Решением является серия корней $x = \text{arctg}(-\sqrt{3}) + \pi k$, что равно $x = -\frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Эти две серии можно объединить в одну формулу.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $2\text{tg}^2 x + 3\text{tg} x = 0$

Это неполное квадратное уравнение относительно $\text{tg} x$. Вынесем общий множитель $\text{tg} x$ за скобки:
$\text{tg} x (2\text{tg} x + 3) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
1) $\text{tg} x = 0$. Решением является серия корней $x = \text{arctg}(0) + \pi n$, что равно $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $2\text{tg} x + 3 = 0$. Решим это уравнение: $2\text{tg} x = -3$, откуда $\text{tg} x = -\frac{3}{2}$. Решением является серия корней $x = \text{arctg}(-\frac{3}{2}) + \pi k$. Так как арктангенс - нечетная функция, можно записать $x = -\text{arctg}(\frac{3}{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\text{arctg}(\frac{3}{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) $4\text{tg}^2 x - 9 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $\text{tg} x$.
Перенесем свободный член в правую часть и разделим на коэффициент при старшем члене:
$4\text{tg}^2 x = 9$
$\text{tg}^2 x = \frac{9}{4}$
Извлечем квадратный корень:
$\text{tg} x = \pm\sqrt{\frac{9}{4}} = \pm\frac{3}{2}$
Это приводит к двум уравнениям:
1) $\text{tg} x = \frac{3}{2}$. Решение: $x = \text{arctg}(\frac{3}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $\text{tg} x = -\frac{3}{2}$. Решение: $x = \text{arctg}(-\frac{3}{2}) + \pi k = -\text{arctg}(\frac{3}{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Объединяем два семейства решений в одну запись.
Ответ: $x = \pm \text{arctg}(\frac{3}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) $3\text{tg}^2 x - 2\text{tg} x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем $\text{tg} x$ за скобки:
$\text{tg} x (3\text{tg} x - 2) = 0$
Приравняем каждый множитель к нулю:
1) $\text{tg} x = 0$. Решение: $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $3\text{tg} x - 2 = 0$. Отсюда $3\text{tg} x = 2$, и $\text{tg} x = \frac{2}{3}$. Решение: $x = \text{arctg}(\frac{2}{3}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \text{arctg}(\frac{2}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.