Номер 17.14, страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§17. Арктангенс и арккотангенс. Решение уравнений tg x = a, ctg x = a. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 17.14, страница 52.

17.14 Постройте график функции:

а) $y = \arccos 2x + \arccos(-2x);$

б) $y = \arccos \frac{1}{x} + \arccos\left(-\frac{1}{x}\right);$

в) $y = \operatorname{arcctg} x + \operatorname{arcctg}(-x);$

г) $y = \operatorname{arcctg} \sqrt{x} + \operatorname{arcctg}(-\sqrt{x}).$

а) Дана функция $y = \arccos(2x) + \arccos(-2x)$.

1. Область определения. Аргумент функции $\arccos(t)$ должен принадлежать отрезку $[-1, 1]$. Поэтому должны одновременно выполняться два условия:
- $-1 \le 2x \le 1 \implies -\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$
- $-1 \le -2x \le 1 \implies 1 \ge 2x \ge -1 \implies -\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$
Пересечение этих условий дает область определения функции: $D(y) = [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.

2. Упрощение функции. Воспользуемся тождеством для обратных тригонометрических функций: $\arccos(t) + \arccos(-t) = \pi$, которое справедливо для всех $t \in [-1, 1]$.
В данном случае $t = 2x$. Так как для любого $x$ из области определения выполняется условие $2x \in [-1, 1]$, мы можем применить это тождество.
Таким образом, для всех $x \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ функция принимает постоянное значение: $y = \pi$.

3. Построение графика. Графиком функции является отрезок горизонтальной прямой $y=\pi$, концами которого являются точки с координатами $(-\frac{1}{2}, \pi)$ и $(\frac{1}{2}, \pi)$.

Ответ: График функции — это отрезок прямой $y=\pi$, где $x \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.

б) Дана функция $y = \arccos\left(\frac{1}{x}\right) + \arccos\left(-\frac{1}{x}\right)$.

1. Область определения. Аргумент функции $\arccos(t)$ должен лежать в пределах от -1 до 1. Следовательно, $-1 \le \frac{1}{x} \le 1$.
Это неравенство равносильно условию $|\frac{1}{x}| \le 1$, что в свою очередь означает $|x| \ge 1$ (при $x \ne 0$).
Таким образом, область определения функции $D(y) = (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

2. Упрощение функции. Используем тождество $\arccos(t) + \arccos(-t) = \pi$.
В данном случае $t = \frac{1}{x}$. На всей области определения $\frac{1}{x} \in [-1, 1]$, поэтому тождество применимо.
Следовательно, для всех $x$ из $D(y)$ функция равна $y = \pi$.

3. Построение графика. График функции состоит из двух лучей, лежащих на прямой $y=\pi$. Первый луч начинается в точке $(-1, \pi)$ и направлен влево (для $x \le -1$). Второй луч начинается в точке $(1, \pi)$ и направлен вправо (для $x \ge 1$).

Ответ: График функции — это объединение двух лучей на прямой $y=\pi$: один для $x \in (-\infty, -1]$ и другой для $x \in [1, \infty)$.

в) Дана функция $y = \text{arcctg}(x) + \text{arcctg}(-x)$.

1. Область определения. Функция $\text{arcctg}(t)$ определена для всех действительных чисел $t$. Поэтому область определения данной функции — все действительные числа, $D(y) = \mathbb{R}$.

2. Упрощение функции. Воспользуемся тождеством $\text{arcctg}(t) + \text{arcctg}(-t) = \pi$, которое справедливо для любого действительного $t$.
Полагая $t=x$, получаем, что для любого $x \in \mathbb{R}$ функция равна $y = \pi$.

3. Построение графика. Графиком функции является горизонтальная прямая $y=\pi$, определенная на всей числовой оси.

Ответ: График функции — это прямая $y=\pi$.

г) Дана функция $y = \text{arcctg}(\sqrt{x}) + \text{arcctg}(-\sqrt{x})$.

1. Область определения. Выражение $\sqrt{x}$ определено при $x \ge 0$. Функция $\text{arcctg}(t)$ определена для любых действительных значений аргумента, поэтому $\text{arcctg}(\sqrt{x})$ и $\text{arcctg}(-\sqrt{x})$ определены, если $x \ge 0$.
Таким образом, область определения функции $D(y) = [0, \infty)$.

2. Упрощение функции. Применяя тождество $\text{arcctg}(t) + \text{arcctg}(-t) = \pi$ для $t = \sqrt{x}$ (что допустимо, так как $\sqrt{x}$ — действительное число для всех $x$ из области определения), получаем, что $y = \pi$.

3. Построение графика. График функции представляет собой луч, начинающийся в точке $(0, \pi)$ (включая эту точку) и идущий вправо вдоль прямой $y=\pi$.

Ответ: График функции — это луч прямой $y=\pi$, где $x \in [0, \infty)$.