Номер 18.5, страница 53, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§18. Решение тригонометрических уравнений. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 18.5, страница 53.

18.5 a) $ \sin \left( \frac{\pi}{2} + t \right) - \cos (\pi + t) = 1; $

б) $ \sin (\pi + t) + \sin (2\pi - t) - \cos \left( \frac{3\pi}{2} + t \right) + 1,5 = 0; $

в) $ \cos \left( \frac{\pi}{2} - t \right) - \sin (\pi + t) = \sqrt{2}; $

г) $ \sin (\pi + t) + \cos \left( \frac{\pi}{2} + t \right) = \sqrt{3}. $

а) $ \sin(\frac{\pi}{2} + t) - \cos(\pi + t) = 1 $

Для решения данного уравнения воспользуемся формулами приведения, которые позволяют упростить тригонометрические функции с аргументами вида $ \frac{\pi k}{2} \pm t $.

1. Упростим $ \sin(\frac{\pi}{2} + t) $. Точка $ \frac{\pi}{2} $ находится на оси ординат, поэтому синус меняется на косинус. Угол $ \frac{\pi}{2} + t $ (при малых $t > 0$) находится во второй четверти, где синус положителен. Следовательно, $ \sin(\frac{\pi}{2} + t) = \cos(t) $.

2. Упростим $ \cos(\pi + t) $. Точка $ \pi $ находится на оси абсцисс, поэтому функция не меняется. Угол $ \pi + t $ находится в третьей четверти, где косинус отрицателен. Следовательно, $ \cos(\pi + t) = -\cos(t) $.

Подставим упрощенные выражения в исходное уравнение:

$ \cos(t) - (-\cos(t)) = 1 $

$ \cos(t) + \cos(t) = 1 $

$ 2\cos(t) = 1 $

$ \cos(t) = \frac{1}{2} $

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решения находятся по формуле $ t = \pm \arccos(a) + 2\pi n $, где $ a = \frac{1}{2} $ и $ n \in \mathbb{Z} $.

$ \arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3} $

Таким образом, $ t = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ t = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $

б) $ \sin(\pi + t) + \sin(2\pi - t) - \cos(\frac{3\pi}{2} + t) + 1,5 = 0 $

Применим формулы приведения для каждого слагаемого:

1. $ \sin(\pi + t) = -\sin(t) $ (угол в III четверти, синус отрицательный).

2. $ \sin(2\pi - t) = -\sin(t) $ (угол в IV четверти, синус отрицательный).

3. $ \cos(\frac{3\pi}{2} + t) = \sin(t) $ (угол в IV четверти, косинус положительный; функция меняется на кофункцию).

Подставим полученные выражения в уравнение:

$ (-\sin(t)) + (-\sin(t)) - (\sin(t)) + 1,5 = 0 $

$ -3\sin(t) + 1,5 = 0 $

$ -3\sin(t) = -1,5 $

$ \sin(t) = \frac{-1,5}{-3} = \frac{1}{2} $

Решения этого уравнения находятся по формуле $ t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k $, где $ a = \frac{1}{2} $ и $ k \in \mathbb{Z} $.

$ \arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6} $

Таким образом, $ t = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ t = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

в) $ \cos(\frac{\pi}{2} - t) - \sin(\pi + t) = \sqrt{2} $

Снова используем формулы приведения:

1. $ \cos(\frac{\pi}{2} - t) = \sin(t) $ (угол в I четверти, косинус положительный; функция меняется на кофункцию).

2. $ \sin(\pi + t) = -\sin(t) $ (угол в III четверти, синус отрицательный).

Подставим упрощенные выражения в уравнение:

$ \sin(t) - (-\sin(t)) = \sqrt{2} $

$ \sin(t) + \sin(t) = \sqrt{2} $

$ 2\sin(t) = \sqrt{2} $

$ \sin(t) = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Общее решение для данного уравнения:

$ t = (-1)^k \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

$ \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4} $

Следовательно, $ t = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ t = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

г) $ \sin(\pi + t) + \cos(\frac{\pi}{2} + t) = \sqrt{3} $

Применяем формулы приведения:

1. $ \sin(\pi + t) = -\sin(t) $ (угол в III четверти, синус отрицательный).

2. $ \cos(\frac{\pi}{2} + t) = -\sin(t) $ (угол во II четверти, косинус отрицательный; функция меняется на кофункцию).

Подставляем в исходное уравнение:

$ -\sin(t) + (-\sin(t)) = \sqrt{3} $

$ -2\sin(t) = \sqrt{3} $

$ \sin(t) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $

Общее решение этого уравнения имеет вид:

$ t = (-1)^k \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

Так как $ \arcsin(-x) = -\arcsin(x) $, то $ \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3} $.

$ t = (-1)^k (-\frac{\pi}{3}) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ t = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $