Номер 18.6, страница 53, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§18. Решение тригонометрических уравнений. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 18.6, страница 53.

Решите уравнение:

18.6 а) $3 \sin^2 x - 5 \sin x - 2 = 0;$

б) $3 \sin^2 2x + 10 \sin 2x + 3 = 0;$

в) $4 \sin^2 x + 11 \sin x - 3 = 0;$

г) $2 \sin^2 \frac{x}{2} - 3 \sin \frac{x}{2} + 1 = 0.$

а) $3\sin^2 x - 5\sin x - 2 = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно $\sin x$. Выполним замену переменной. Пусть $t = \sin x$. При этом, поскольку область значений синуса $[-1; 1]$, то и $-1 \le t \le 1$.

Получаем квадратное уравнение:

$3t^2 - 5t - 2 = 0$

Решим его через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 = 7^2$

Находим корни для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Корень $t_1 = 2$ не удовлетворяет условию $-1 \le t \le 1$, следовательно, он является посторонним.

Корень $t_2 = -\frac{1}{3}$ удовлетворяет этому условию. Выполняем обратную замену:

$\sin x = -\frac{1}{3}$

Решение этого простейшего тригонометрического уравнения записывается в виде:

$x = (-1)^k \arcsin(-\frac{1}{3}) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Так как $\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$, то решение можно записать как:

$x = (-1)^{k+1} \arcsin(\frac{1}{3}) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = (-1)^{k+1} \arcsin(\frac{1}{3}) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

б) $3\sin^2 2x + 10\sin 2x + 3 = 0$

Это уравнение является квадратным относительно $\sin 2x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \sin 2x$, где $-1 \le t \le 1$.

Получаем уравнение:

$3t^2 + 10t + 3 = 0$

Решаем его:

$D = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$

$t_1 = \frac{-10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

$t_2 = \frac{-10 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3$

Корень $t_2 = -3$ не удовлетворяет условию $-1 \le t \le 1$.

Корень $t_1 = -\frac{1}{3}$ подходит. Выполняем обратную замену:

$\sin 2x = -\frac{1}{3}$

Находим $2x$:

$2x = (-1)^k \arcsin(-\frac{1}{3}) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$2x = (-1)^{k+1} \arcsin(\frac{1}{3}) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Теперь выражаем $x$:

$x = \frac{(-1)^{k+1}}{2} \arcsin(\frac{1}{3}) + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{(-1)^{k+1}}{2} \arcsin(\frac{1}{3}) + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$.

в) $4\sin^2 x + 11\sin x - 3 = 0$

Сделаем замену $t = \sin x$, где $-1 \le t \le 1$.

$4t^2 + 11t - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение:

$D = 11^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 121 + 48 = 169 = 13^2$

$t_1 = \frac{-11 + 13}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

$t_2 = \frac{-11 - 13}{2 \cdot 4} = \frac{-24}{8} = -3$

Корень $t_2 = -3$ является посторонним, так как не входит в отрезок $[-1; 1]$.

Корень $t_1 = \frac{1}{4}$ подходит. Возвращаемся к замене:

$\sin x = \frac{1}{4}$

Решение этого уравнения:

$x = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{4}) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{4}) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

г) $2\sin^2 \frac{x}{2} - 3\sin \frac{x}{2} + 1 = 0$

Сделаем замену $t = \sin \frac{x}{2}$, где $-1 \le t \le 1$.

$2t^2 - 3t + 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 = 1^2$

$t_1 = \frac{3 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

$t_2 = \frac{3 - 1}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Оба корня, $t_1 = 1$ и $t_2 = \frac{1}{2}$, удовлетворяют условию $-1 \le t \le 1$. Поэтому рассмотрим два случая.

Случай 1: $\sin \frac{x}{2} = 1$

Это частный случай, решение которого:

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$x = \pi + 4\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Случай 2: $\sin \frac{x}{2} = \frac{1}{2}$

Решение:

$\frac{x}{2} = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$\frac{x}{2} = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Объединяем решения из обоих случаев.

Ответ: $x = \pi + 4\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.