Номер 18.10, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§18. Решение тригонометрических уравнений. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 18.10, страница 54.

Решите уравнение:

18.10 а) $\sin x + \sqrt{3} \cos x = 0$;

б) $\sin x + \cos x = 0$;

В) $\sin x - 3 \cos x = 0$;

Г) $\sqrt{3} \sin x + \cos x = 0$.

а) Дано уравнение $\sin x + \sqrt{3} \cos x = 0$.
Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Для его решения разделим обе части на $\cos x$. Это возможно, так как если предположить, что $\cos x = 0$, то из уравнения следует, что $\sin x = 0$. Однако $\sin x$ и $\cos x$ не могут быть равны нулю одновременно, так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Следовательно, $\cos x \neq 0$.
Делим уравнение на $\cos x$:
$\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\sqrt{3} \cos x}{\cos x} = 0$
Используя определение тангенса $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, получаем:
$\tan x + \sqrt{3} = 0$
$\tan x = -\sqrt{3}$
Общее решение для этого уравнения:
$x = \arctan(-\sqrt{3}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Так как $\arctan(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$, то
$x = -\frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}.$

б) Дано уравнение $\sin x + \cos x = 0$.
Это однородное тригонометрическое уравнение. Разделим обе части уравнения на $\cos x$, так как $\cos x \neq 0$ (иначе и $\sin x$ должен был бы быть равен нулю, что невозможно).
$\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x} = 0$
$\tan x + 1 = 0$
$\tan x = -1$
Общее решение этого уравнения:
$x = \arctan(-1) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Так как $\arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}$, то
$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}.$

в) Дано уравнение $\sin x - 3 \cos x = 0$.
Это однородное тригонометрическое уравнение. Разделим обе части на $\cos x$, убедившись, что $\cos x \neq 0$ (если $\cos x = 0$, то $\sin x = 0$, что невозможно).
$\frac{\sin x}{\cos x} - \frac{3 \cos x}{\cos x} = 0$
$\tan x - 3 = 0$
$\tan x = 3$
Общее решение этого уравнения записывается через арктангенс:
$x = \arctan(3) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \arctan(3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}.$

г) Дано уравнение $\sqrt{3} \sin x + \cos x = 0$.
Это однородное тригонометрическое уравнение. Разделим обе части на $\cos x$ (так как $\cos x \neq 0$).
$\frac{\sqrt{3} \sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x} = 0$
$\sqrt{3} \tan x + 1 = 0$
$\sqrt{3} \tan x = -1$
$\tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$
Общее решение для этого уравнения:
$x = \arctan(-\frac{1}{\sqrt{3}}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Так как $\arctan(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\frac{\pi}{6}$, то
$x = -\frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}.$