Номер 18.13, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§18. Решение тригонометрических уравнений. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 18.13, страница 54.

18.13 Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $[0; 2\pi]$:

а) $(\sin x - \frac{1}{2})(\sin x + 1) = 0;$

б) $(\cos x + \frac{1}{2})(\cos x - 1) = 0;$

в) $(\cos x - \frac{\sqrt{2}}{2})(\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2}) = 0;$

г) $(1 + \cos x)(\sqrt{2} \sin x - 1) = 0.$

а) Данное уравнение $(\sin x - \frac{1}{2})(\sin x + 1) = 0$ распадается на два более простых уравнения, так как произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю.

1. $\sin x - \frac{1}{2} = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2}$.

На отрезке $[0; 2\pi]$ это уравнение имеет два корня: $x_1 = \frac{\pi}{6}$ и $x_2 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

2. $\sin x + 1 = 0 \implies \sin x = -1$.

На отрезке $[0; 2\pi]$ это уравнение имеет один корень: $x_3 = \frac{3\pi}{2}$.

Объединяя все найденные корни, получаем решение исходного уравнения на заданном отрезке.

Ответ: $\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}$.

б) Уравнение $(\cos x + \frac{1}{2})(\cos x - 1) = 0$ эквивалентно совокупности двух уравнений:

1. $\cos x + \frac{1}{2} = 0 \implies \cos x = -\frac{1}{2}$.

На отрезке $[0; 2\pi]$ это уравнение имеет два корня: $x_1 = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ и $x_2 = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$.

2. $\cos x - 1 = 0 \implies \cos x = 1$.

На отрезке $[0; 2\pi]$ это уравнение имеет два корня: $x_3 = 0$ и $x_4 = 2\pi$.

Объединяем все найденные корни.

Ответ: $0, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, 2\pi$.

в) Уравнение $(\cos x - \frac{\sqrt{2}}{2})(\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2}) = 0$ эквивалентно совокупности двух уравнений:

1. $\cos x - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 \implies \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

На отрезке $[0; 2\pi]$ это уравнение имеет два корня: $x_1 = \frac{\pi}{4}$ и $x_2 = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$.

2. $\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 \implies \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

На отрезке $[0; 2\pi]$ это уравнение имеет два корня: $x_3 = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$ и $x_4 = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$.

Объединяя все уникальные найденные корни, получаем ответ.

Ответ: $\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$.

г) Уравнение $(1 + \cos x)(\sqrt{2} \sin x - 1) = 0$ эквивалентно совокупности двух уравнений:

1. $1 + \cos x = 0 \implies \cos x = -1$.

На отрезке $[0; 2\pi]$ это уравнение имеет один корень: $x_1 = \pi$.

2. $\sqrt{2} \sin x - 1 = 0 \implies \sin x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

На отрезке $[0; 2\pi]$ это уравнение имеет два корня: $x_2 = \frac{\pi}{4}$ и $x_3 = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Объединяя все найденные корни, получаем ответ.

Ответ: $\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \pi$.