Номер 18.12, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 3. Тригонометрические уравнения. §18. Решение тригонометрических уравнений - номер 18.12, страница 54.

Условие.

18.12 a) $\sin^2 x + 2 \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 0;$

б) $\sin^2 x - 4 \sin x \cos x + 3 \cos^2 x = 0;$

в) $\sin^2 x + \sin x \cos x - 2 \cos^2 x = 0;$

г) $3 \sin^2 x + \sin x \cos x - 2 \cos^2 x = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) $\sin^2 x + 2\sin x \cos x - 3\cos^2 x = 0$
Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением второй степени.
Сначала проверим, является ли $\cos x = 0$ решением уравнения. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Подставив эти значения в уравнение, получим: $1^2 + 2\sin x \cdot 0 - 3 \cdot 0^2 = 1$, что не равно 0. Значит, $\cos x \ne 0$.
Разделим обе части уравнения на $\cos^2 x$ :
$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{2\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{3\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$
$\tan^2 x + 2\tan x - 3 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \tan x$. Уравнение примет вид:
$t^2 + 2t - 3 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней $t_1 + t_2 = -2$, а произведение $t_1 \cdot t_2 = -3$. Корни равны $t_1 = 1$ и $t_2 = -3$.
Теперь вернемся к исходной переменной $x$.
1) $\tan x = 1 \implies x = \arctan(1) + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $\tan x = -3 \implies x = \arctan(-3) + \pi k = -\arctan(3) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = -\arctan(3) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $\sin^2 x - 4\sin x \cos x + 3\cos^2 x = 0$
Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Убедимся, что $\cos x \ne 0$. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Подставляя в уравнение, получаем: $1 - 0 + 0 = 1 \ne 0$.
Разделим обе части уравнения на $\cos^2 x$ :
$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{4\sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{3\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$
$\tan^2 x - 4\tan x + 3 = 0$
Пусть $t = \tan x$. Получаем квадратное уравнение:
$t^2 - 4t + 3 = 0$
По теореме Виета, сумма корней $t_1 + t_2 = 4$, а произведение $t_1 \cdot t_2 = 3$. Корни равны $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.
Возвращаемся к замене:
1) $\tan x = 1 \implies x = \arctan(1) + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $\tan x = 3 \implies x = \arctan(3) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \arctan(3) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) $\sin^2 x + \sin x \cos x - 2\cos^2 x = 0$
Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Проверим случай $\cos x = 0$. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Уравнение принимает вид: $1 + 0 - 0 = 1 \ne 0$. Следовательно, $\cos x \ne 0$.
Разделим обе части уравнения на $\cos^2 x$ :
$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{2\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$
$\tan^2 x + \tan x - 2 = 0$
Пусть $t = \tan x$.
$t^2 + t - 2 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.
Возвращаемся к замене:
1) $\tan x = 1 \implies x = \arctan(1) + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $\tan x = -2 \implies x = \arctan(-2) + \pi k = -\arctan(2) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = -\arctan(2) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $3\sin^2 x + \sin x \cos x - 2\cos^2 x = 0$
Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Случай $\cos x = 0$ не является решением, так как при подстановке получим $3(1) + 0 - 0 = 3 \ne 0$.
Разделим обе части уравнения на $\cos^2 x$, так как $\cos x \ne 0$ :
$3\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - 2\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$
$3\tan^2 x + \tan x - 2 = 0$
Пусть $t = \tan x$.
$3t^2 + t - 2 = 0$
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25 = 5^2$
$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 5}{6}$
$t_1 = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
$t_2 = \frac{-1 - 5}{6} = \frac{-6}{6} = -1$
Возвращаемся к замене:
1) $\tan x = \frac{2}{3} \implies x = \arctan\left(\frac{2}{3}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $\tan x = -1 \implies x = \arctan(-1) + \pi k = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \arctan\left(\frac{2}{3}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.