Номер 18.15, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов


Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 2
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
§18. Решение тригонометрических уравнений. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 18.15, страница 54.
№18.15 (с. 54)
Условие. №18.15 (с. 54)
скриншот условия

Найдите корни уравнения на заданном промежутке:
18.15 a) $\operatorname{sin} 3x = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $[0; 2\pi]$
б) $\operatorname{cos} 3x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $[-\pi; \pi]$
в) $\operatorname{tg} \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $[-3\pi; 3\pi]$
г) $\operatorname{ctg} 4x = -1$, $[0; \pi]$
Решение 1. №18.15 (с. 54)

Решение 2. №18.15 (с. 54)



Решение 3. №18.15 (с. 54)

Решение 5. №18.15 (с. 54)




Решение 6. №18.15 (с. 54)
а) $ \sin 3x = \frac{\sqrt{2}}{2} $, на промежутке $ [0; 2\pi] $.
Сначала найдем общее решение уравнения. Обозначим $ t = 3x $. Уравнение примет вид $ \sin t = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Решения этого уравнения записываются в виде совокупности двух серий:
$ t = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in Z $
$ t = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in Z $
Теперь вернемся к переменной $ x $:
1) $ 3x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3} $
2) $ 3x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \implies x = \frac{3\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3} = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3} $
Теперь отберем корни, принадлежащие промежутку $ [0; 2\pi] $, подставляя различные целые значения $ n $.
Для первой серии $ x = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3} $:
- При $ n = 0 $: $ x = \frac{\pi}{12} $. $ 0 \le \frac{\pi}{12} \le 2\pi $ (верно).
- При $ n = 1 $: $ x = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi + 8\pi}{12} = \frac{9\pi}{12} = \frac{3\pi}{4} $. $ 0 \le \frac{3\pi}{4} \le 2\pi $ (верно).
- При $ n = 2 $: $ x = \frac{\pi}{12} + \frac{4\pi}{3} = \frac{\pi + 16\pi}{12} = \frac{17\pi}{12} $. $ 0 \le \frac{17\pi}{12} \le 2\pi $ (верно).
- При $ n = 3 $: $ x = \frac{\pi}{12} + 2\pi = \frac{25\pi}{12} $. $ \frac{25\pi}{12} > 2\pi $ (не подходит).
Для второй серии $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3} $:
- При $ n = 0 $: $ x = \frac{\pi}{4} $. $ 0 \le \frac{\pi}{4} \le 2\pi $ (верно).
- При $ n = 1 $: $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} = \frac{3\pi + 8\pi}{12} = \frac{11\pi}{12} $. $ 0 \le \frac{11\pi}{12} \le 2\pi $ (верно).
- При $ n = 2 $: $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{4\pi}{3} = \frac{3\pi + 16\pi}{12} = \frac{19\pi}{12} $. $ 0 \le \frac{19\pi}{12} \le 2\pi $ (верно).
- При $ n = 3 $: $ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4} $. $ \frac{9\pi}{4} > 2\pi $ (не подходит).
Ответ: $ \frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{11\pi}{12}, \frac{17\pi}{12}, \frac{19\pi}{12} $
б) $ \cos 3x = \frac{\sqrt{3}}{2} $, на промежутке $ [-\pi; \pi] $.
Найдем общее решение. Обозначим $ t = 3x $. Уравнение примет вид $ \cos t = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Решения этого уравнения: $ t = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in Z $.
Возвращаемся к переменной $ x $: $ 3x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n \implies x = \pm \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} $.
Рассмотрим две серии решений и отберем корни из промежутка $ [-\pi; \pi] $.
Для серии $ x = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} $:
- При $ n = -1 $: $ x = \frac{\pi}{18} - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi - 12\pi}{18} = -\frac{11\pi}{18} $. $ -\pi \le -\frac{11\pi}{18} \le \pi $ (верно).
- При $ n = 0 $: $ x = \frac{\pi}{18} $. $ -\pi \le \frac{\pi}{18} \le \pi $ (верно).
- При $ n = 1 $: $ x = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi + 12\pi}{18} = \frac{13\pi}{18} $. $ -\pi \le \frac{13\pi}{18} \le \pi $ (верно).
- При $ n = 2 $: $ x = \frac{\pi}{18} + \frac{4\pi}{3} = \frac{25\pi}{18} > \pi $ (не подходит).
Для серии $ x = -\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} $:
- При $ n = -1 $: $ x = -\frac{\pi}{18} - \frac{2\pi}{3} = \frac{-\pi - 12\pi}{18} = -\frac{13\pi}{18} $. $ -\pi \le -\frac{13\pi}{18} \le \pi $ (верно).
- При $ n = 0 $: $ x = -\frac{\pi}{18} $. $ -\pi \le -\frac{\pi}{18} \le \pi $ (верно).
- При $ n = 1 $: $ x = -\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi}{3} = \frac{-\pi + 12\pi}{18} = \frac{11\pi}{18} $. $ -\pi \le \frac{11\pi}{18} \le \pi $ (верно).
- При $ n = 2 $: $ x = -\frac{\pi}{18} + \frac{4\pi}{3} = \frac{23\pi}{18} > \pi $ (не подходит).
Ответ: $ -\frac{13\pi}{18}, -\frac{11\pi}{18}, -\frac{\pi}{18}, \frac{\pi}{18}, \frac{11\pi}{18}, \frac{13\pi}{18} $
в) $ \operatorname{tg} \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3} $, на промежутке $ [-3\pi; 3\pi] $.
Найдем общее решение. Обозначим $ t = \frac{x}{2} $. Уравнение примет вид $ \operatorname{tg} t = \frac{\sqrt{3}}{3} $.
Решение этого уравнения: $ t = \operatorname{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \pi n = \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in Z $.
Возвращаемся к переменной $ x $: $ \frac{x}{2} = \frac{\pi}{6} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n $.
Отберем корни, принадлежащие промежутку $ [-3\pi; 3\pi] $.
Решим неравенство $ -3\pi \le \frac{\pi}{3} + 2\pi n \le 3\pi $. Разделим все части на $ \pi $:
$ -3 \le \frac{1}{3} + 2n \le 3 $
$ -3 - \frac{1}{3} \le 2n \le 3 - \frac{1}{3} $
$ -\frac{10}{3} \le 2n \le \frac{8}{3} $
$ -\frac{5}{3} \le n \le \frac{4}{3} $
Так как $ n $ - целое число, то $ n \in \{-1, 0, 1\} $.
- При $ n = -1 $: $ x = \frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{5\pi}{3} $.
- При $ n = 0 $: $ x = \frac{\pi}{3} $.
- При $ n = 1 $: $ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3} $.
Ответ: $ -\frac{5\pi}{3}, \frac{\pi}{3}, \frac{7\pi}{3} $
г) $ \operatorname{ctg} 4x = -1 $, на промежутке $ [0; \pi] $.
Найдем общее решение. Обозначим $ t = 4x $. Уравнение примет вид $ \operatorname{ctg} t = -1 $.
Решение этого уравнения: $ t = \operatorname{arcctg}(-1) + \pi n = \frac{3\pi}{4} + \pi n, \quad n \in Z $.
Возвращаемся к переменной $ x $: $ 4x = \frac{3\pi}{4} + \pi n \implies x = \frac{3\pi}{16} + \frac{\pi n}{4} $.
Отберем корни, принадлежащие промежутку $ [0; \pi] $.
Решим неравенство $ 0 \le \frac{3\pi}{16} + \frac{\pi n}{4} \le \pi $. Разделим все части на $ \pi $:
$ 0 \le \frac{3}{16} + \frac{n}{4} \le 1 $
$ -\frac{3}{16} \le \frac{n}{4} \le 1 - \frac{3}{16} $
$ -\frac{3}{16} \le \frac{n}{4} \le \frac{13}{16} $
$ -\frac{3}{4} \le n \le \frac{13}{4} $
$ -0.75 \le n \le 3.25 $
Так как $ n $ - целое число, то $ n \in \{0, 1, 2, 3\} $.
- При $ n = 0 $: $ x = \frac{3\pi}{16} $.
- При $ n = 1 $: $ x = \frac{3\pi}{16} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi + 4\pi}{16} = \frac{7\pi}{16} $.
- При $ n = 2 $: $ x = \frac{3\pi}{16} + \frac{2\pi}{4} = \frac{3\pi + 8\pi}{16} = \frac{11\pi}{16} $.
- При $ n = 3 $: $ x = \frac{3\pi}{16} + \frac{3\pi}{4} = \frac{3\pi + 12\pi}{16} = \frac{15\pi}{16} $.
Ответ: $ \frac{3\pi}{16}, \frac{7\pi}{16}, \frac{11\pi}{16}, \frac{15\pi}{16} $
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 18.15 расположенного на странице 54 для 2-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №18.15 (с. 54), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 2-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.