Номер 18.15, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 3. Тригонометрические уравнения. §18. Решение тригонометрических уравнений - номер 18.15, страница 54.

Условие.

Найдите корни уравнения на заданном промежутке:

18.15 a) $\operatorname{sin} 3x = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $[0; 2\pi]$

б) $\operatorname{cos} 3x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $[-\pi; \pi]$

в) $\operatorname{tg} \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $[-3\pi; 3\pi]$

г) $\operatorname{ctg} 4x = -1$, $[0; \pi]$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) $ \sin 3x = \frac{\sqrt{2}}{2} $, на промежутке $ [0; 2\pi] $.

Сначала найдем общее решение уравнения. Обозначим $ t = 3x $. Уравнение примет вид $ \sin t = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Решения этого уравнения записываются в виде совокупности двух серий:

$ t = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in Z $

$ t = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in Z $

Теперь вернемся к переменной $ x $:

1) $ 3x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3} $

2) $ 3x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \implies x = \frac{3\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3} = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3} $

Теперь отберем корни, принадлежащие промежутку $ [0; 2\pi] $, подставляя различные целые значения $ n $.

Для первой серии $ x = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3} $:

• При $ n = 0 $: $ x = \frac{\pi}{12} $. $ 0 \le \frac{\pi}{12} \le 2\pi $ (верно).
• При $ n = 1 $: $ x = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi + 8\pi}{12} = \frac{9\pi}{12} = \frac{3\pi}{4} $. $ 0 \le \frac{3\pi}{4} \le 2\pi $ (верно).
• При $ n = 2 $: $ x = \frac{\pi}{12} + \frac{4\pi}{3} = \frac{\pi + 16\pi}{12} = \frac{17\pi}{12} $. $ 0 \le \frac{17\pi}{12} \le 2\pi $ (верно).
• При $ n = 3 $: $ x = \frac{\pi}{12} + 2\pi = \frac{25\pi}{12} $. $ \frac{25\pi}{12} > 2\pi $ (не подходит).

Для второй серии $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3} $:

• При $ n = 0 $: $ x = \frac{\pi}{4} $. $ 0 \le \frac{\pi}{4} \le 2\pi $ (верно).
• При $ n = 1 $: $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} = \frac{3\pi + 8\pi}{12} = \frac{11\pi}{12} $. $ 0 \le \frac{11\pi}{12} \le 2\pi $ (верно).
• При $ n = 2 $: $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{4\pi}{3} = \frac{3\pi + 16\pi}{12} = \frac{19\pi}{12} $. $ 0 \le \frac{19\pi}{12} \le 2\pi $ (верно).
• При $ n = 3 $: $ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4} $. $ \frac{9\pi}{4} > 2\pi $ (не подходит).

Ответ: $ \frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{11\pi}{12}, \frac{17\pi}{12}, \frac{19\pi}{12} $

б) $ \cos 3x = \frac{\sqrt{3}}{2} $, на промежутке $ [-\pi; \pi] $.

Найдем общее решение. Обозначим $ t = 3x $. Уравнение примет вид $ \cos t = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Решения этого уравнения: $ t = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in Z $.

Возвращаемся к переменной $ x $: $ 3x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n \implies x = \pm \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} $.

Рассмотрим две серии решений и отберем корни из промежутка $ [-\pi; \pi] $.

Для серии $ x = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} $:

• При $ n = -1 $: $ x = \frac{\pi}{18} - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi - 12\pi}{18} = -\frac{11\pi}{18} $. $ -\pi \le -\frac{11\pi}{18} \le \pi $ (верно).
• При $ n = 0 $: $ x = \frac{\pi}{18} $. $ -\pi \le \frac{\pi}{18} \le \pi $ (верно).
• При $ n = 1 $: $ x = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi + 12\pi}{18} = \frac{13\pi}{18} $. $ -\pi \le \frac{13\pi}{18} \le \pi $ (верно).
• При $ n = 2 $: $ x = \frac{\pi}{18} + \frac{4\pi}{3} = \frac{25\pi}{18} > \pi $ (не подходит).

Для серии $ x = -\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} $:

• При $ n = -1 $: $ x = -\frac{\pi}{18} - \frac{2\pi}{3} = \frac{-\pi - 12\pi}{18} = -\frac{13\pi}{18} $. $ -\pi \le -\frac{13\pi}{18} \le \pi $ (верно).
• При $ n = 0 $: $ x = -\frac{\pi}{18} $. $ -\pi \le -\frac{\pi}{18} \le \pi $ (верно).
• При $ n = 1 $: $ x = -\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi}{3} = \frac{-\pi + 12\pi}{18} = \frac{11\pi}{18} $. $ -\pi \le \frac{11\pi}{18} \le \pi $ (верно).
• При $ n = 2 $: $ x = -\frac{\pi}{18} + \frac{4\pi}{3} = \frac{23\pi}{18} > \pi $ (не подходит).

Ответ: $ -\frac{13\pi}{18}, -\frac{11\pi}{18}, -\frac{\pi}{18}, \frac{\pi}{18}, \frac{11\pi}{18}, \frac{13\pi}{18} $

в) $ \operatorname{tg} \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3} $, на промежутке $ [-3\pi; 3\pi] $.

Найдем общее решение. Обозначим $ t = \frac{x}{2} $. Уравнение примет вид $ \operatorname{tg} t = \frac{\sqrt{3}}{3} $.

Решение этого уравнения: $ t = \operatorname{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \pi n = \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in Z $.

Возвращаемся к переменной $ x $: $ \frac{x}{2} = \frac{\pi}{6} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n $.

Отберем корни, принадлежащие промежутку $ [-3\pi; 3\pi] $.

Решим неравенство $ -3\pi \le \frac{\pi}{3} + 2\pi n \le 3\pi $. Разделим все части на $ \pi $:

$ -3 \le \frac{1}{3} + 2n \le 3 $

$ -3 - \frac{1}{3} \le 2n \le 3 - \frac{1}{3} $

$ -\frac{10}{3} \le 2n \le \frac{8}{3} $

$ -\frac{5}{3} \le n \le \frac{4}{3} $

Так как $ n $ - целое число, то $ n \in \{-1, 0, 1\} $.

• При $ n = -1 $: $ x = \frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{5\pi}{3} $.
• При $ n = 0 $: $ x = \frac{\pi}{3} $.
• При $ n = 1 $: $ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3} $.

Ответ: $ -\frac{5\pi}{3}, \frac{\pi}{3}, \frac{7\pi}{3} $

г) $ \operatorname{ctg} 4x = -1 $, на промежутке $ [0; \pi] $.

Найдем общее решение. Обозначим $ t = 4x $. Уравнение примет вид $ \operatorname{ctg} t = -1 $.

Решение этого уравнения: $ t = \operatorname{arcctg}(-1) + \pi n = \frac{3\pi}{4} + \pi n, \quad n \in Z $.

Возвращаемся к переменной $ x $: $ 4x = \frac{3\pi}{4} + \pi n \implies x = \frac{3\pi}{16} + \frac{\pi n}{4} $.

Отберем корни, принадлежащие промежутку $ [0; \pi] $.

Решим неравенство $ 0 \le \frac{3\pi}{16} + \frac{\pi n}{4} \le \pi $. Разделим все части на $ \pi $:

$ 0 \le \frac{3}{16} + \frac{n}{4} \le 1 $

$ -\frac{3}{16} \le \frac{n}{4} \le 1 - \frac{3}{16} $

$ -\frac{3}{16} \le \frac{n}{4} \le \frac{13}{16} $

$ -\frac{3}{4} \le n \le \frac{13}{4} $

$ -0.75 \le n \le 3.25 $

Так как $ n $ - целое число, то $ n \in \{0, 1, 2, 3\} $.

• При $ n = 0 $: $ x = \frac{3\pi}{16} $.
• При $ n = 1 $: $ x = \frac{3\pi}{16} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi + 4\pi}{16} = \frac{7\pi}{16} $.
• При $ n = 2 $: $ x = \frac{3\pi}{16} + \frac{2\pi}{4} = \frac{3\pi + 8\pi}{16} = \frac{11\pi}{16} $.
• При $ n = 3 $: $ x = \frac{3\pi}{16} + \frac{3\pi}{4} = \frac{3\pi + 12\pi}{16} = \frac{15\pi}{16} $.

Ответ: $ \frac{3\pi}{16}, \frac{7\pi}{16}, \frac{11\pi}{16}, \frac{15\pi}{16} $