Номер 18.22, страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, часть 1, 2 Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, часть 1, 2

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.

Тип: Задачник

Издательство: Мнемозина

Год издания: 2019 - 2025

Уровень обучения: базовый

Часть: 2

Цвет обложки:

ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

Популярные ГДЗ в 10 классе

§18. Решение тригонометрических уравнений. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 18.22, страница 55.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№18.22 (с. 55)
Условие. №18.22 (с. 55)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 55, номер 18.22, Условие

18.22 a) $2 \cos^2 \frac{x}{2} + \sqrt{3} \cos \frac{x}{2} = 0;$

B) $\sqrt{3} \operatorname{tg}^2 3x - 3 \operatorname{tg} 3x = 0;$

б) $4 \cos^2 \left(x - \frac{\pi}{6}\right) - 3 = 0;$

г) $4 \sin^2 \left(2x + \frac{\pi}{3}\right) - 1 = 0.$

Решение 1. №18.22 (с. 55)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 55, номер 18.22, Решение 1
Решение 2. №18.22 (с. 55)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 55, номер 18.22, Решение 2 Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 55, номер 18.22, Решение 2 (продолжение 2) Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 55, номер 18.22, Решение 2 (продолжение 3)
Решение 3. №18.22 (с. 55)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 55, номер 18.22, Решение 3
Решение 5. №18.22 (с. 55)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 55, номер 18.22, Решение 5 Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 55, номер 18.22, Решение 5 (продолжение 2) Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 55, номер 18.22, Решение 5 (продолжение 3)
Решение 6. №18.22 (с. 55)

а) $2 \cos^2 \frac{x}{2} + \sqrt{3} \cos \frac{x}{2} = 0$

Это неполное квадратное уравнение относительно $\cos \frac{x}{2}$. Вынесем общий множитель $\cos \frac{x}{2}$ за скобки:

$\cos \frac{x}{2} \left(2 \cos \frac{x}{2} + \sqrt{3}\right) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, уравнение распадается на два:

1) $\cos \frac{x}{2} = 0$

Это частный случай решения простейшего тригонометрического уравнения.

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Умножим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

2) $2 \cos \frac{x}{2} + \sqrt{3} = 0$

Выразим $\cos \frac{x}{2}$:

$2 \cos \frac{x}{2} = -\sqrt{3}$

$\cos \frac{x}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Решаем это уравнение по общей формуле:

$\frac{x}{2} = \pm \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Так как $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$, получаем:

$\frac{x}{2} = \pm \left(\pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$\frac{x}{2} = \pm \left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$\frac{x}{2} = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Умножим обе части на 2:

$x = \pm \frac{5\pi}{3} + 4\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Объединяем решения из обоих случаев.

Ответ: $x = \pi + 2\pi k, \quad x = \pm \frac{5\pi}{3} + 4\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

б) $4 \cos^2 \left(x - \frac{\pi}{6}\right) - 3 = 0$

Выразим $\cos^2 \left(x - \frac{\pi}{6}\right)$:

$4 \cos^2 \left(x - \frac{\pi}{6}\right) = 3$

$\cos^2 \left(x - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{3}{4}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\cos \left(x - \frac{\pi}{6}\right) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Решение этого уравнения можно записать в более компактном виде. Пусть $t = x - \frac{\pi}{6}$. Тогда $\cos t = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решениями являются $t = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену:

$x - \frac{\pi}{6} = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Рассмотрим два случая:

1) $x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + \pi k$

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + \pi k = \frac{2\pi}{6} + \pi k = \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

2) $x - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6} + \pi k$

$x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + \pi k = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pi k, \quad x = \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) $\sqrt{3} \text{tg}^2 3x - 3 \text{tg} 3x = 0$

Вынесем общий множитель $\text{tg} 3x$ за скобки:

$\text{tg} 3x (\sqrt{3} \text{tg} 3x - 3) = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) для тангенса: его аргумент не должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$.

$3x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, следовательно $x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}$.

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1) $\text{tg} 3x = 0$

$3x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}$

Данная серия корней удовлетворяет ОДЗ.

2) $\sqrt{3} \text{tg} 3x - 3 = 0$

$\sqrt{3} \text{tg} 3x = 3$

$\text{tg} 3x = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$

$3x = \text{arctg}(\sqrt{3}) + \pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$

$3x = \frac{\pi}{3} + \pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi m}{3}, \quad m \in \mathbb{Z}$

Эта серия корней также удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{3}, \quad x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi m}{3}$, где $k, m \in \mathbb{Z}$.

г) $4 \sin^2 \left(2x + \frac{\pi}{3}\right) - 1 = 0$

Выразим $\sin^2 \left(2x + \frac{\pi}{3}\right)$:

$4 \sin^2 \left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = 1$

$\sin^2 \left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{4}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$\sin \left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = \pm \frac{1}{2}$

Пусть $t = 2x + \frac{\pi}{3}$. Уравнение принимает вид $\sin t = \pm \frac{1}{2}$.

Решения этого уравнения можно записать как $t = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену:

$2x + \frac{\pi}{3} = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Рассмотрим два случая:

1) $2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \pi k$

$2x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + \pi k = -\frac{\pi}{6} + \pi k$

$x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$

2) $2x + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{6} + \pi k$

$2x = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + \pi k = -\frac{3\pi}{6} + \pi k = -\frac{\pi}{2} + \pi k$

$x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, \quad x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 18.22 расположенного на странице 55 для 2-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №18.22 (с. 55), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 2-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться