Номер 18.22, страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 3. Тригонометрические уравнения. §18. Решение тригонометрических уравнений - номер 18.22, страница 55.

Условие.

18.22 a) $2 \cos^2 \frac{x}{2} + \sqrt{3} \cos \frac{x}{2} = 0;$

B) $\sqrt{3} \operatorname{tg}^2 3x - 3 \operatorname{tg} 3x = 0;$

б) $4 \cos^2 \left(x - \frac{\pi}{6}\right) - 3 = 0;$

г) $4 \sin^2 \left(2x + \frac{\pi}{3}\right) - 1 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) $2 \cos^2 \frac{x}{2} + \sqrt{3} \cos \frac{x}{2} = 0$

Это неполное квадратное уравнение относительно $\cos \frac{x}{2}$. Вынесем общий множитель $\cos \frac{x}{2}$ за скобки:

$\cos \frac{x}{2} \left(2 \cos \frac{x}{2} + \sqrt{3}\right) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, уравнение распадается на два:

1) $\cos \frac{x}{2} = 0$

Это частный случай решения простейшего тригонометрического уравнения.

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Умножим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

2) $2 \cos \frac{x}{2} + \sqrt{3} = 0$

Выразим $\cos \frac{x}{2}$:

$2 \cos \frac{x}{2} = -\sqrt{3}$

$\cos \frac{x}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Решаем это уравнение по общей формуле:

$\frac{x}{2} = \pm \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Так как $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$, получаем:

$\frac{x}{2} = \pm \left(\pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$\frac{x}{2} = \pm \left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$\frac{x}{2} = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Умножим обе части на 2:

$x = \pm \frac{5\pi}{3} + 4\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Объединяем решения из обоих случаев.

Ответ: $x = \pi + 2\pi k, \quad x = \pm \frac{5\pi}{3} + 4\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

б) $4 \cos^2 \left(x - \frac{\pi}{6}\right) - 3 = 0$

Выразим $\cos^2 \left(x - \frac{\pi}{6}\right)$:

$4 \cos^2 \left(x - \frac{\pi}{6}\right) = 3$

$\cos^2 \left(x - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{3}{4}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\cos \left(x - \frac{\pi}{6}\right) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Решение этого уравнения можно записать в более компактном виде. Пусть $t = x - \frac{\pi}{6}$. Тогда $\cos t = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решениями являются $t = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену:

$x - \frac{\pi}{6} = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Рассмотрим два случая:

1) $x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + \pi k$

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + \pi k = \frac{2\pi}{6} + \pi k = \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

2) $x - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6} + \pi k$

$x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + \pi k = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pi k, \quad x = \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) $\sqrt{3} \text{tg}^2 3x - 3 \text{tg} 3x = 0$

Вынесем общий множитель $\text{tg} 3x$ за скобки:

$\text{tg} 3x (\sqrt{3} \text{tg} 3x - 3) = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) для тангенса: его аргумент не должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$.

$3x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, следовательно $x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}$.

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1) $\text{tg} 3x = 0$

$3x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}$

Данная серия корней удовлетворяет ОДЗ.

2) $\sqrt{3} \text{tg} 3x - 3 = 0$

$\sqrt{3} \text{tg} 3x = 3$

$\text{tg} 3x = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$

$3x = \text{arctg}(\sqrt{3}) + \pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$

$3x = \frac{\pi}{3} + \pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi m}{3}, \quad m \in \mathbb{Z}$

Эта серия корней также удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{3}, \quad x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi m}{3}$, где $k, m \in \mathbb{Z}$.

г) $4 \sin^2 \left(2x + \frac{\pi}{3}\right) - 1 = 0$

Выразим $\sin^2 \left(2x + \frac{\pi}{3}\right)$:

$4 \sin^2 \left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = 1$

$\sin^2 \left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{4}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$\sin \left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = \pm \frac{1}{2}$

Пусть $t = 2x + \frac{\pi}{3}$. Уравнение принимает вид $\sin t = \pm \frac{1}{2}$.

Решения этого уравнения можно записать как $t = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену:

$2x + \frac{\pi}{3} = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Рассмотрим два случая:

1) $2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \pi k$

$2x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + \pi k = -\frac{\pi}{6} + \pi k$

$x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$

2) $2x + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{6} + \pi k$

$2x = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + \pi k = -\frac{3\pi}{6} + \pi k = -\frac{\pi}{2} + \pi k$

$x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, \quad x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.