Номер 18.26, страница 56, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§18. Решение тригонометрических уравнений. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 18.26, страница 56.

18.26 a) $\sin^2 \frac{x}{2} = 3 \cos^2 \frac{x}{2};$

б) $\sin^2 4x = \cos^2 4x.$

а) $ \sin^2\frac{x}{2} = 3\cos^2\frac{x}{2} $

Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением второй степени. Чтобы его решить, разделим обе части на $ \cos^2\frac{x}{2} $. Это возможно, так как если предположить, что $ \cos^2\frac{x}{2} = 0 $, то из исходного уравнения следует, что и $ \sin^2\frac{x}{2} = 0 $. Однако синус и косинус одного и того же угла не могут быть одновременно равны нулю, поскольку это противоречит основному тригонометрическому тождеству $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $. Следовательно, $ \cos^2\frac{x}{2} \neq 0 $.

После деления получаем:

$ \frac{\sin^2\frac{x}{2}}{\cos^2\frac{x}{2}} = 3 $

Используя определение тангенса $ \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $, приходим к уравнению:

$ \tan^2\frac{x}{2} = 3 $

Извлекая квадратный корень, получаем два простейших уравнения:

$ \tan\frac{x}{2} = \sqrt{3} \quad $ или $ \quad \tan\frac{x}{2} = -\sqrt{3} $

Эти две серии решений можно объединить в одну общую формулу:

$ \frac{x}{2} = \pm\frac{\pi}{3} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Для нахождения $ x $ умножим обе части на 2:

$ x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

б) $ \sin^2 4x = \cos^2 4x $

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить:

$ \cos^2 4x - \sin^2 4x = 0 $

Левая часть уравнения представляет собой формулу косинуса двойного угла: $ \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha $. В данном случае $ \alpha = 4x $.

Применив эту формулу, мы упрощаем уравнение:

$ \cos(2 \cdot 4x) = 0 $

$ \cos(8x) = 0 $

Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Уравнение $ \cos t = 0 $ имеет решения $ t = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Подставив $ t = 8x $, получаем:

$ 8x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Наконец, чтобы найти $ x $, разделим обе части на 8:

$ x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{8} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{8}, n \in \mathbb{Z} $.