Номер 18.24, страница 56, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§18. Решение тригонометрических уравнений. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 18.24, страница 56.

18.24 a) $\sin 2x = \cos 2x$;

б) $\sqrt{3} \sin 3x = \cos 3x$;

В) $\sin \frac{x}{2} = \sqrt{3} \cos \frac{x}{2}$;

Г) $\sqrt{2} \sin 17x = \sqrt{6} \cos 17x$.

а) Исходное уравнение: $\sin(2x) = \cos(2x)$.

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Разделим обе части уравнения на $\cos(2x)$. Это возможно, так как если бы $\cos(2x) = 0$, то из уравнения следовало бы, что и $\sin(2x) = 0$. Однако синус и косинус одного и того же угла не могут быть равны нулю одновременно, поскольку $\sin^2(2x) + \cos^2(2x) = 1$. Следовательно, $\cos(2x) \neq 0$.

$\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} = 1$

Используя определение тангенса $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$, получаем:

$\tan(2x) = 1$

Решением этого уравнения является серия корней:

$2x = \arctan(1) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$, имеем:

$2x = \frac{\pi}{4} + \pi n$

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное уравнение: $\sqrt{3} \sin(3x) = \cos(3x)$.

Разделим обе части уравнения на $\cos(3x)$. Аналогично предыдущему пункту, $\cos(3x) \neq 0$, так как в противном случае и $\sin(3x)$ должен был бы быть равен нулю, что невозможно.

$\sqrt{3} \frac{\sin(3x)}{\cos(3x)} = 1$

$\sqrt{3} \tan(3x) = 1$

$\tan(3x) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Общее решение для этого уравнения:

$3x = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}$, получаем:

$3x = \frac{\pi}{6} + \pi n$

Чтобы найти $x$, разделим обе части на 3:

$x = \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

в) Исходное уравнение: $\sin\left(\frac{x}{2}\right) = \sqrt{3} \cos\left(\frac{x}{2}\right)$.

Разделим обе части уравнения на $\cos\left(\frac{x}{2}\right)$, так как $\cos\left(\frac{x}{2}\right) \neq 0$.

$\frac{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}{\cos\left(\frac{x}{2}\right)} = \sqrt{3}$

$\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \sqrt{3}$

Общее решение уравнения:

$\frac{x}{2} = \arctan(\sqrt{3}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $\arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$, имеем:

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{3} + \pi n$

Умножим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

г) Исходное уравнение: $\sqrt{2} \sin(17x) = \sqrt{6} \cos(17x)$.

Разделим обе части уравнения на $\cos(17x)$, так как $\cos(17x) \neq 0$.

$\sqrt{2} \frac{\sin(17x)}{\cos(17x)} = \sqrt{6}$

$\sqrt{2} \tan(17x) = \sqrt{6}$

$\tan(17x) = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{6}{2}} = \sqrt{3}$

Общее решение уравнения:

$17x = \arctan(\sqrt{3}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$, получаем:

$17x = \frac{\pi}{3} + \pi n$

Разделим обе части на 17, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pi}{51} + \frac{\pi n}{17}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{51} + \frac{\pi n}{17}$, где $n \in \mathbb{Z}$.