Номер 18.28, страница 56, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§18. Решение тригонометрических уравнений. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 18.28, страница 56.

18.28 a) $5 \sin^2 x + \sqrt{3} \sin x \cos x + 6 \cos^2 x = 5;$

б) $2 \sin^2 x - 3 \sin x \cos x + 4 \cos^2 x = 4.$

а) $5 \sin^2 x + \sqrt{3} \sin x \cos x + 6 \cos^2 x = 5$

Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением. Чтобы его решить, представим число 5 в правой части с помощью основного тригонометрического тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

$5 = 5 \cdot 1 = 5(\sin^2 x + \cos^2 x) = 5 \sin^2 x + 5 \cos^2 x$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$5 \sin^2 x + \sqrt{3} \sin x \cos x + 6 \cos^2 x = 5 \sin^2 x + 5 \cos^2 x$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:

$(5 \sin^2 x - 5 \sin^2 x) + \sqrt{3} \sin x \cos x + (6 \cos^2 x - 5 \cos^2 x) = 0$

$\sqrt{3} \sin x \cos x + \cos^2 x = 0$

Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:

$\cos x (\sqrt{3} \sin x + \cos x) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1. $\cos x = 0$

Решением этого уравнения является серия корней $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. $\sqrt{3} \sin x + \cos x = 0$

Это однородное уравнение первой степени. Проверим, может ли $\cos x$ быть равен нулю. Если $\cos x = 0$, то из уравнения следует, что $\sqrt{3} \sin x = 0$, то есть $\sin x = 0$. Но $\sin x$ и $\cos x$ не могут одновременно равняться нулю, так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Значит, $\cos x \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos x$:

$\frac{\sqrt{3} \sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x} = 0$

$\sqrt{3} \tan x + 1 = 0$

$\tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

Решением этого уравнения является серия корней $x = \arctan(-\frac{1}{\sqrt{3}}) + \pi n = -\frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $2 \sin^2 x - 3 \sin x \cos x + 4 \cos^2 x = 4$

Это также однородное тригонометрическое уравнение. Аналогично предыдущему пункту, заменим число 4 в правой части, используя тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

$4 = 4 \cdot 1 = 4(\sin^2 x + \cos^2 x) = 4 \sin^2 x + 4 \cos^2 x$

Подставим это в исходное уравнение:

$2 \sin^2 x - 3 \sin x \cos x + 4 \cos^2 x = 4 \sin^2 x + 4 \cos^2 x$

Перенесем все слагаемые в одну сторону (например, вправо) и приведем подобные:

$0 = (4 \sin^2 x - 2 \sin^2 x) + 3 \sin x \cos x + (4 \cos^2 x - 4 \cos^2 x)$

$2 \sin^2 x + 3 \sin x \cos x = 0$

Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки:

$\sin x (2 \sin x + 3 \cos x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1. $\sin x = 0$

Решением этого уравнения является серия корней $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. $2 \sin x + 3 \cos x = 0$

Это однородное уравнение первой степени. Как и в предыдущем случае, $\cos x \neq 0$ (иначе и $\sin x = 0$, что невозможно). Разделим обе части уравнения на $\cos x$:

$\frac{2 \sin x}{\cos x} + \frac{3 \cos x}{\cos x} = 0$

$2 \tan x + 3 = 0$

$2 \tan x = -3$

$\tan x = -\frac{3}{2}$

Решением этого уравнения является серия корней $x = \arctan(-\frac{3}{2}) + \pi n = -\arctan(\frac{3}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяем полученные решения.

Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = -\arctan(\frac{3}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.