Номер 18.34, страница 57, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§18. Решение тригонометрических уравнений. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 18.34, страница 57.

18.34 a) $ (\sqrt{2} \cos x - 1)\sqrt{4x^2 - 7x + 3} = 0; $

б) $ (2 \sin x - \sqrt{3})\sqrt{3x^2 - 7x + 4} = 0. $

a) $(\sqrt{2} \cos x - 1)\sqrt{4x^2 - 7x + 3} = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом существует (определен). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. Это условие определяет область допустимых значений (ОДЗ) уравнения.

1. Найдем ОДЗ, решив неравенство:

$4x^2 - 7x + 3 \ge 0$

Для этого сначала найдем корни квадратного трехчлена $4x^2 - 7x + 3 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 49 - 48 = 1$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 1}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$;
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 1}{8} = \frac{8}{8} = 1$.
Графиком функции $y = 4x^2 - 7x + 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство $4x^2 - 7x + 3 \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty, \frac{3}{4}] \cup [1, \infty)$.

2. Исходное уравнение равносильно совокупности двух систем:

1) $\sqrt{4x^2 - 7x + 3} = 0 \implies 4x^2 - 7x + 3 = 0$.
Корни этого уравнения $x = \frac{3}{4}$ и $x = 1$. Оба значения входят в ОДЗ, поэтому являются решениями исходного уравнения.

2) $\sqrt{2} \cos x - 1 = 0$ при условии, что $x$ принадлежит ОДЗ.
$\sqrt{2} \cos x = 1 \implies \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Решения этого тригонометрического уравнения: $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3. Теперь необходимо проверить, какие из найденных серий корней удовлетворяют ОДЗ $x \in (-\infty, \frac{3}{4}] \cup [1, \infty)$. Для удобства используем приближенное значение $\pi \approx 3.14159$.

- Для серии $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$:
При $k=0$, $x = \frac{\pi}{4} \approx 0.785$. Так как $\frac{3}{4} = 0.75$, то $0.75 < 0.785 < 1$. Этот корень не входит в ОДЗ.
При $k \ge 1$, $x \ge \frac{\pi}{4} + 2\pi > 1$. Эти корни входят в ОДЗ.
При $k \le -1$, $x \le \frac{\pi}{4} - 2\pi < 0 < \frac{3}{4}$. Эти корни входят в ОДЗ.
Таким образом, решениями являются $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ для всех $k \in \mathbb{Z}, k \ne 0$.

- Для серии $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$:
Проверим, могут ли корни этой серии попасть в "запретный" промежуток $(\frac{3}{4}, 1)$.
$\frac{3}{4} < -\frac{\pi}{4} + 2\pi k < 1 \implies 3 < -\pi + 8\pi k < 4 \implies 3+\pi < 8\pi k < 4+\pi \implies \frac{3+\pi}{8\pi} < k < \frac{4+\pi}{8\pi}$.
Приблизительно: $0.24 < k < 0.28$. В этом интервале нет целых значений $k$.
Следовательно, все корни серии $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ являются решениями.

Объединяя все найденные решения, получаем окончательный ответ.
Ответ: $\frac{3}{4}; 1; -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}; \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}, k \ne 0$.

---

б) $(2 \sin x - \sqrt{3})\sqrt{3x^2 - 7x + 4} = 0$

Аналогично предыдущему пункту, решим уравнение с учетом области допустимых значений.

1. Найдем ОДЗ из условия $3x^2 - 7x + 4 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $3x^2 - 7x + 4 = 0$.
Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1$.
Корни: $x_1 = \frac{7-1}{6} = 1$; $x_2 = \frac{7+1}{6} = \frac{4}{3}$.
Парабола $y = 3x^2 - 7x + 4$ имеет ветви вверх, значит, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 1] \cup [\frac{4}{3}, \infty)$.

2. Уравнение распадается на два случая:

1) $\sqrt{3x^2 - 7x + 4} = 0 \implies 3x^2 - 7x + 4 = 0$.
Корни $x=1$ и $x=\frac{4}{3}$ принадлежат ОДЗ и являются решениями.

2) $2 \sin x - \sqrt{3} = 0$ при условии $x \in$ ОДЗ.
$2 \sin x = \sqrt{3} \implies \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Решения этого уравнения: $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ и $x = \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi k = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3. Проверим принадлежность найденных корней ОДЗ $x \in (-\infty, 1] \cup [\frac{4}{3}, \infty)$.

- Для серии $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$:
При $k=0$, $x = \frac{\pi}{3} \approx 1.047$. Так как $\frac{4}{3} \approx 1.333$, то $1 < 1.047 < \frac{4}{3}$. Этот корень не входит в ОДЗ.
При $k \ge 1$, $x \ge \frac{\pi}{3} + 2\pi > \frac{4}{3}$. Корни подходят.
При $k \le -1$, $x \le \frac{\pi}{3} - 2\pi < 1$. Корни подходят.
Решениями являются $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ для всех $k \in \mathbb{Z}, k \ne 0$.

- Для серии $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$:
Проверим, могут ли корни этой серии попасть в "запретный" промежуток $(1, \frac{4}{3})$.
$1 < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k < \frac{4}{3} \implies 3 < 2\pi + 6\pi k < 4 \implies 3-2\pi < 6\pi k < 4-2\pi$.
Приблизительно: $-3.28 < 6\pi k < -2.28 \implies -0.17... < k < -0.12...$. Целых $k$ в интервале нет.
Все корни серии $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ являются решениями.

Объединяем все решения.
Ответ: $1; \frac{4}{3}; \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}; \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}, k \ne 0$.