Номер 18.35, страница 57, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§18. Решение тригонометрических уравнений. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 18.35, страница 57.

18.35 Найдите область значений функции:

a) $y = \cos 3x + \sqrt{\cos^2 3x - 1};$

б) $y = \sin 2x + \sqrt{\sin^2 4x - 1}.$

а) $y = \cos 3x + \sqrt{\cos^2 3x - 1}$

Для нахождения области значений функции $E(y)$ сначала определим ее область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$\cos^2 3x - 1 \ge 0$

$\cos^2 3x \ge 1$

Поскольку функция косинуса ограничена, $-1 \le \cos 3x \le 1$, то ее квадрат удовлетворяет неравенству $0 \le \cos^2 3x \le 1$. Таким образом, условие $\cos^2 3x \ge 1$ может выполняться только в одном случае:

$\cos^2 3x = 1$

Это означает, что функция определена только для тех значений $x$, при которых $\cos^2 3x = 1$. При этом условии выражение под корнем равно нулю:

$\sqrt{\cos^2 3x - 1} = \sqrt{1 - 1} = \sqrt{0} = 0$

Следовательно, для всех $x$ из области определения, функция принимает вид:

$y = \cos 3x + 0 = \cos 3x$

Теперь найдем, какие значения может принимать $y$. Из условия $\cos^2 3x = 1$ следует, что $\cos 3x$ может быть равен либо $1$, либо $-1$.

1. Если $\cos 3x = 1$, то $y = 1$.

2. Если $\cos 3x = -1$, то $y = -1$.

Таким образом, функция может принимать только два значения: 1 и -1. Область значений функции представляет собой множество из этих двух чисел.

Ответ: $E(y) = \{-1, 1\}$.

б) $y = \sin 2x + \sqrt{\sin^2 4x - 1}$

Аналогично предыдущему пункту, найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$\sin^2 4x - 1 \ge 0$

$\sin^2 4x \ge 1$

Так как $-1 \le \sin 4x \le 1$, то $0 \le \sin^2 4x \le 1$. Следовательно, неравенство $\sin^2 4x \ge 1$ выполняется только при условии:

$\sin^2 4x = 1$

При выполнении этого условия подкоренное выражение равно нулю, и функция упрощается:

$y = \sin 2x + \sqrt{1 - 1} = \sin 2x$

Теперь необходимо найти все возможные значения $\sin 2x$ при условии, что $\sin^2 4x = 1$.

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin 4x = 2 \sin 2x \cos 2x$. Подставим ее в наше условие:

$(2 \sin 2x \cos 2x)^2 = 1$

$4 \sin^2 2x \cos^2 2x = 1$

Применим основное тригонометрическое тождество $\cos^2 2x = 1 - \sin^2 2x$:

$4 \sin^2 2x (1 - \sin^2 2x) = 1$

Пусть $t = \sin^2 2x$. Заметим, что $0 \le t \le 1$. Уравнение принимает вид:

$4t(1-t) = 1$

$4t - 4t^2 = 1$

$4t^2 - 4t + 1 = 0$

Это уравнение является полным квадратом:

$(2t - 1)^2 = 0$

Решением этого уравнения является $t = \frac{1}{2}$.

Вернемся к замене: $\sin^2 2x = \frac{1}{2}$.

Отсюда находим возможные значения для $\sin 2x$:

$\sin 2x = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$

Следовательно, значениями функции $y$ могут быть только $\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Область значений функции состоит из этих двух чисел.

Ответ: $E(y) = \{-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\}$.