Номер 18.39, страница 57, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§18. Решение тригонометрических уравнений. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 18.39, страница 57.

18.39 a) $\sin^2 x + \cos \left(\frac{\pi}{2} - x\right) \sin \left(\frac{\pi}{2} - x\right) - 2 \cos^2 x = 0;$

б) $\sin^2 3x + 3 \cos^2 3x - 4 \sin \left(\frac{\pi}{2} + 3x\right) \cos \left(\frac{\pi}{2} + 3x\right) = 0;$

в) $\sin^2 x + 2 \sin(\pi - x) \cos x - 3 \cos^2(2\pi - x) = 0;$

г) $\sin^2 (\pi - 3x) + 5 \sin(\pi - 3x) \cos 3x + 4 \sin^2 \left(\frac{3\pi}{2} - 3x\right) = 0.$

а) Исходное уравнение: $sin^2 x + cos(\frac{\pi}{2} - x)sin(\frac{\pi}{2} - x) - 2cos^2 x = 0$

Применим формулы приведения:

$cos(\frac{\pi}{2} - x) = sin x$

$sin(\frac{\pi}{2} - x) = cos x$

Подставим их в уравнение:

$sin^2 x + sin x \cdot cos x - 2cos^2 x = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Чтобы решить его, разделим обе части на $cos^2 x$. Предварительно убедимся, что $cos x \neq 0$. Если предположить, что $cos x = 0$, то из уравнения следует $sin^2 x = 0$, то есть $sin x = 0$. Однако $sin x$ и $cos x$ не могут быть равны нулю одновременно, так как $sin^2 x + cos^2 x = 1$. Значит, $cos x \neq 0$ и деление возможно.

$\frac{sin^2 x}{cos^2 x} + \frac{sin x cos x}{cos^2 x} - \frac{2cos^2 x}{cos^2 x} = 0$

$tan^2 x + tan x - 2 = 0$

Сделаем замену $t = tan x$. Получаем квадратное уравнение:

$t^2 + t - 2 = 0$

Решаем его через дискриминант или по теореме Виета. Корни: $t_1 = 1$, $t_2 = -2$.

Возвращаемся к переменной $x$:

1) $tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in Z$.

2) $tan x = -2 \implies x = arctan(-2) + \pi k = -arctan 2 + \pi k$, где $k \in Z$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z$; $x = -arctan 2 + \pi k, k \in Z$.

б) Исходное уравнение: $sin^2 3x + 3cos^2 3x - 4sin(\frac{\pi}{2} + 3x)cos(\frac{\pi}{2} + 3x) = 0$

Применим формулы приведения:

$sin(\frac{\pi}{2} + 3x) = cos 3x$

$cos(\frac{\pi}{2} + 3x) = -sin 3x$

Подставим в уравнение:

$sin^2 3x + 3cos^2 3x - 4(cos 3x)(-sin 3x) = 0$

$sin^2 3x + 4sin 3x cos 3x + 3cos^2 3x = 0$

Это однородное уравнение второй степени. Разделим его на $cos^2 3x$, так как $cos 3x \neq 0$ (иначе и $sin 3x$ был бы равен 0, что невозможно).

$\frac{sin^2 3x}{cos^2 3x} + \frac{4sin 3x cos 3x}{cos^2 3x} + \frac{3cos^2 3x}{cos^2 3x} = 0$

$tan^2 3x + 4tan 3x + 3 = 0$

Сделаем замену $t = tan 3x$:

$t^2 + 4t + 3 = 0$

По теореме Виета находим корни: $t_1 = -1$, $t_2 = -3$.

Возвращаемся к замене:

1) $tan 3x = -1 \implies 3x = -\frac{\pi}{4} + \pi n \implies x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in Z$.

2) $tan 3x = -3 \implies 3x = arctan(-3) + \pi k \implies x = -\frac{arctan 3}{3} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in Z$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}, n \in Z$; $x = -\frac{arctan 3}{3} + \frac{\pi k}{3}, k \in Z$.

в) Исходное уравнение: $sin^2 x + 2sin(\pi - x)cos x - 3cos^2(2\pi - x) = 0$

Применим формулы приведения:

$sin(\pi - x) = sin x$

$cos(2\pi - x) = cos x \implies cos^2(2\pi - x) = cos^2 x$

Подставим в уравнение:

$sin^2 x + 2sin x cos x - 3cos^2 x = 0$

Это однородное уравнение второй степени. Разделим на $cos^2 x$ ($cos x \neq 0$ по аналогии с пунктом а).

$\frac{sin^2 x}{cos^2 x} + \frac{2sin x cos x}{cos^2 x} - \frac{3cos^2 x}{cos^2 x} = 0$

$tan^2 x + 2tan x - 3 = 0$

Сделаем замену $t = tan x$:

$t^2 + 2t - 3 = 0$

Корни уравнения: $t_1 = 1$, $t_2 = -3$.

Возвращаемся к замене:

1) $tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in Z$.

2) $tan x = -3 \implies x = arctan(-3) + \pi k = -arctan 3 + \pi k$, где $k \in Z$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z$; $x = -arctan 3 + \pi k, k \in Z$.

г) Исходное уравнение: $sin^2(\pi - 3x) + 5sin(\pi - 3x)cos 3x + 4sin^2(\frac{3\pi}{2} - 3x) = 0$

Применим формулы приведения:

$sin(\pi - 3x) = sin 3x \implies sin^2(\pi - 3x) = sin^2 3x$

$sin(\frac{3\pi}{2} - 3x) = -cos 3x \implies sin^2(\frac{3\pi}{2} - 3x) = (-cos 3x)^2 = cos^2 3x$

Подставим в уравнение:

$sin^2 3x + 5sin 3x cos 3x + 4cos^2 3x = 0$

Это однородное уравнение второй степени. Разделим на $cos^2 3x$ ($cos 3x \neq 0$ по аналогии с пунктом б).

$\frac{sin^2 3x}{cos^2 3x} + \frac{5sin 3x cos 3x}{cos^2 3x} + \frac{4cos^2 3x}{cos^2 3x} = 0$

$tan^2 3x + 5tan 3x + 4 = 0$

Сделаем замену $t = tan 3x$:

$t^2 + 5t + 4 = 0$

Корни уравнения: $t_1 = -1$, $t_2 = -4$.

Возвращаемся к замене:

1) $tan 3x = -1 \implies 3x = -\frac{\pi}{4} + \pi n \implies x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in Z$.

2) $tan 3x = -4 \implies 3x = arctan(-4) + \pi k \implies x = -\frac{arctan 4}{3} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in Z$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}, n \in Z$; $x = -\frac{arctan 4}{3} + \frac{\pi k}{3}, k \in Z$.