Номер 18.41, страница 58, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§18. Решение тригонометрических уравнений. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 18.41, страница 58.

18.41 a) $2 \sin^2 (\pi + x) - 5 \cos \left(\frac{\pi}{2} + x\right) + 2 = 0;$

б) $2 \cos^2 x + 5 \cos \left(\frac{\pi}{2} - x\right) - 4 = 0;$

в) $2 \cos^2 x + \sin \left(\frac{\pi}{2} - x\right) - 1 = 0;$

г) $5 - 5 \sin 3(\pi - x) = \cos^2(\pi - 3x).$

а) $2 \sin^2(\pi + x) - 5 \cos(\frac{\pi}{2} + x) + 2 = 0$

Сначала упростим тригонометрические выражения, используя формулы приведения:

$\sin(\pi + x) = -\sin(x)$, следовательно, $\sin^2(\pi + x) = (-\sin(x))^2 = \sin^2(x)$.

$\cos(\frac{\pi}{2} + x) = -\sin(x)$.

Подставим упрощенные выражения в исходное уравнение:

$2 \sin^2(x) - 5(-\sin(x)) + 2 = 0$

$2 \sin^2(x) + 5 \sin(x) + 2 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin(x)$, где $t \in [-1, 1]$. Уравнение примет вид:

$2t^2 + 5t + 2 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

$t_1 = \frac{-5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 3}{4} = \frac{-8}{4} = -2$.

$t_2 = \frac{-5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.

Корень $t_1 = -2$ не удовлетворяет условию $t \in [-1, 1]$, поэтому он является посторонним.

Корень $t_2 = -\frac{1}{2}$ удовлетворяет условию.

Вернемся к исходной переменной:

$\sin(x) = -\frac{1}{2}$

Решения этого уравнения имеют вид $x = (-1)^n \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$, получаем:

$x = (-1)^n (-\frac{\pi}{6}) + \pi n = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $2 \cos^2 x + 5 \cos(\frac{\pi}{2} - x) - 4 = 0$

Используем формулу приведения: $\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin(x)$.

Подставляем в уравнение:

$2 \cos^2 x + 5 \sin x - 4 = 0$

Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$, чтобы привести уравнение к одной функции:

$2(1 - \sin^2 x) + 5 \sin x - 4 = 0$

$2 - 2 \sin^2 x + 5 \sin x - 4 = 0$

$-2 \sin^2 x + 5 \sin x - 2 = 0$

Умножим обе части на -1:

$2 \sin^2 x - 5 \sin x + 2 = 0$

Сделаем замену $t = \sin(x)$, где $t \in [-1, 1]$:

$2t^2 - 5t + 2 = 0$

Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

$t_1 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

$t_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

Корень $t_2 = 2$ не входит в область значений синуса $[-1, 1]$.

Корень $t_1 = \frac{1}{2}$ подходит.

Выполняем обратную замену:

$\sin(x) = \frac{1}{2}$

$x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) $2 \cos^2 x + \sin(\frac{\pi}{2} - x) - 1 = 0$

Применим формулу приведения: $\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos(x)$.

Уравнение принимает вид:

$2 \cos^2 x + \cos x - 1 = 0$

Сделаем замену $t = \cos(x)$, где $t \in [-1, 1]$:

$2t^2 + t - 1 = 0$

Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.

$t_1 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 3}{4} = -1$.

$t_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Оба корня, $t_1 = -1$ и $t_2 = \frac{1}{2}$, принадлежат отрезку $[-1, 1]$.

Рассмотрим два случая:

1) $\cos(x) = -1$

$x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos(x) = \frac{1}{2}$

$x = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi k = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $5 - 5 \sin 3(\pi - x) = \cos^2(\pi - 3x)$

Упростим аргументы тригонометрических функций: $3(\pi-x)=3\pi-3x$.

Используем формулы приведения и периодичность:

$\sin(3\pi - 3x) = \sin(\pi - 3x) = \sin(3x)$.

$\cos(\pi - 3x) = -\cos(3x)$, тогда $\cos^2(\pi - 3x) = (-\cos(3x))^2 = \cos^2(3x)$.

Подставляем в уравнение:

$5 - 5 \sin(3x) = \cos^2(3x)$

Используем тождество $\cos^2(3x) = 1 - \sin^2(3x)$:

$5 - 5 \sin(3x) = 1 - \sin^2(3x)$

Перенесем все члены в левую часть:

$\sin^2(3x) - 5 \sin(3x) + 5 - 1 = 0$

$\sin^2(3x) - 5 \sin(3x) + 4 = 0$

Пусть $t = \sin(3x)$, где $t \in [-1, 1]$:

$t^2 - 5t + 4 = 0$

По теореме Виета находим корни: $t_1 = 1$, $t_2 = 4$.

Корень $t_2 = 4$ не принадлежит отрезку $[-1, 1]$.

Корень $t_1 = 1$ подходит.

Возвращаемся к замене:

$\sin(3x) = 1$

Это частный случай, решения которого:

$3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Разделим обе части на 3:

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.