Номер 19.2, страница 59, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§19. Синус и косинус суммы и разности аргументов. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 19.2, страница 59.

Упростите выражение:

19.2 a) $\sin(\alpha + \beta) - \sin\alpha \cos\beta$;

б) $\sin\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) - \frac{1}{2}\sin\alpha$;

в) $\sin\alpha \sin\beta + \cos(\alpha + \beta)$;

г) $\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha$.

а) Для упрощения выражения $\sin(\alpha + \beta) - \sin\alpha \cos\beta$ воспользуемся формулой синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$.
Подставим эту формулу в исходное выражение:
$\sin(\alpha + \beta) - \sin\alpha \cos\beta = (\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta) - \sin\alpha \cos\beta$.
Приведем подобные слагаемые:
$\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta - \sin\alpha \cos\beta = \cos\alpha \sin\beta$.
Ответ: $\cos\alpha \sin\beta$.

б) Для упрощения выражения $\sin\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) - \frac{1}{2}\sin\alpha$ используем формулу синуса суммы $\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$.
В нашем случае $x = \frac{\pi}{3}$ и $y = \alpha$.
$\sin\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \sin\frac{\pi}{3}\cos\alpha + \cos\frac{\pi}{3}\sin\alpha$.
Мы знаем, что $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$. Подставим эти значения:
$\sin\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha + \frac{1}{2}\sin\alpha$.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha + \frac{1}{2}\sin\alpha\right) - \frac{1}{2}\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha$.

в) Для упрощения выражения $\sin\alpha \sin\beta + \cos(\alpha + \beta)$ воспользуемся формулой косинуса суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$.
Подставим эту формулу в исходное выражение:
$\sin\alpha \sin\beta + (\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta)$.
Приведем подобные слагаемые:
$\sin\alpha \sin\beta + \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta = \cos\alpha \cos\beta$.
Ответ: $\cos\alpha \cos\beta$.

г) Для упрощения выражения $\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha$ используем формулу косинуса суммы $\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$.
В нашем случае $x = \alpha$ и $y = \frac{\pi}{4}$.
$\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = \cos\alpha \cos\frac{\pi}{4} - \sin\alpha \sin\frac{\pi}{4}$.
Мы знаем, что $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим эти значения:
$\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = \cos\alpha \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin\alpha \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha\right) + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha$.