Номер 19.7, страница 60, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§19. Синус и косинус суммы и разности аргументов. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 19.7, страница 60.

19.7 a) $\sin (30^\circ - \alpha) - \cos (60^\circ - \alpha) = -\sqrt{3} \sin \alpha;$

б) $\sin (30^\circ - \alpha) + \sin (30^\circ + \alpha) = \cos \alpha.$

а)

Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть, используя формулы синуса разности и косинуса разности:

$ \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $

$ \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $

Применим эти формулы к левой части равенства $ \sin(30^\circ - \alpha) - \cos(60^\circ - \alpha) $.

Сначала раскроем каждый член выражения:

$ \sin(30^\circ - \alpha) = \sin 30^\circ \cos \alpha - \cos 30^\circ \sin \alpha $

$ \cos(60^\circ - \alpha) = \cos 60^\circ \cos \alpha + \sin 60^\circ \sin \alpha $

Подставим эти разложения в исходное выражение:

$ (\sin 30^\circ \cos \alpha - \cos 30^\circ \sin \alpha) - (\cos 60^\circ \cos \alpha + \sin 60^\circ \sin \alpha) $

Теперь подставим известные значения тригонометрических функций: $ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $, $ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $, $ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $, $ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

$ \left( \frac{1}{2} \cos \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha \right) - \left( \frac{1}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha \right) $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{1}{2} \cos \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha - \frac{1}{2} \cos \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha $

Члены $ \frac{1}{2} \cos \alpha $ и $ -\frac{1}{2} \cos \alpha $ взаимно уничтожаются. Остается:

$ - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha = -2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha = -\sqrt{3} \sin \alpha $

В результате преобразований левая часть равенства стала равна $ -\sqrt{3} \sin \alpha $, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б)

Для доказательства этого тождества преобразуем его левую часть $ \sin(30^\circ - \alpha) + \sin(30^\circ + \alpha) $. Воспользуемся формулами синуса разности и синуса суммы:

$ \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $

$ \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $

Применим формулы:

$ \sin(30^\circ - \alpha) = \sin 30^\circ \cos \alpha - \cos 30^\circ \sin \alpha $

$ \sin(30^\circ + \alpha) = \sin 30^\circ \cos \alpha + \cos 30^\circ \sin \alpha $

Теперь сложим эти два выражения:

$ (\sin 30^\circ \cos \alpha - \cos 30^\circ \sin \alpha) + (\sin 30^\circ \cos \alpha + \cos 30^\circ \sin \alpha) $

Приведем подобные слагаемые. Члены $ -\cos 30^\circ \sin \alpha $ и $ \cos 30^\circ \sin \alpha $ взаимно уничтожаются:

$ \sin 30^\circ \cos \alpha + \sin 30^\circ \cos \alpha = 2 \sin 30^\circ \cos \alpha $

Подставим известное значение $ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $:

$ 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos \alpha = \cos \alpha $

В результате преобразования левая часть стала равна $ \cos \alpha $, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.