Номер 19.13, страница 60, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§19. Синус и косинус суммы и разности аргументов. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 19.13, страница 60.

19.13 a) $\frac{\cos 105^\circ \cos 5^\circ + \sin 105^\circ \cos 85^\circ}{\cos 95^\circ \cos 5^\circ + \sin 95^\circ \sin 185^\circ}$;

б) $\frac{\sin 75^\circ \cos 5^\circ - \cos 75^\circ \cos 85^\circ}{\cos 375^\circ \cos 5^\circ - \sin 15^\circ \sin 365^\circ}$.

а) $ \frac{\cos 105^\circ \cos 5^\circ + \sin 105^\circ \cos 85^\circ}{\cos 95^\circ \cos 5^\circ + \sin 95^\circ \sin 185^\circ} $
Упростим числитель и знаменатель дроби по отдельности.
1. Числитель: $ \cos 105^\circ \cos 5^\circ + \sin 105^\circ \cos 85^\circ $.
Используем формулу приведения для $ \cos 85^\circ $: $ \cos 85^\circ = \cos(90^\circ - 5^\circ) = \sin 5^\circ $.
Подставим это в выражение для числителя: $ \cos 105^\circ \cos 5^\circ + \sin 105^\circ \sin 5^\circ $.
Это выражение является формулой косинуса разности: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $.
При $ \alpha = 105^\circ $ и $ \beta = 5^\circ $ получаем: $ \cos(105^\circ - 5^\circ) = \cos 100^\circ $.
2. Знаменатель: $ \cos 95^\circ \cos 5^\circ + \sin 95^\circ \sin 185^\circ $.
Используем формулу приведения для $ \sin 185^\circ $: $ \sin 185^\circ = \sin(180^\circ + 5^\circ) = -\sin 5^\circ $.
Подставим это в выражение для знаменателя: $ \cos 95^\circ \cos 5^\circ + \sin 95^\circ (-\sin 5^\circ) = \cos 95^\circ \cos 5^\circ - \sin 95^\circ \sin 5^\circ $.
Это выражение является формулой косинуса суммы: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $.
При $ \alpha = 95^\circ $ и $ \beta = 5^\circ $ получаем: $ \cos(95^\circ + 5^\circ) = \cos 100^\circ $.
3. Итоговое выражение:
$ \frac{\text{Числитель}}{\text{Знаменатель}} = \frac{\cos 100^\circ}{\cos 100^\circ} = 1 $.
Ответ: 1.

б) $ \frac{\sin 75^\circ \cos 5^\circ - \cos 75^\circ \cos 85^\circ}{\cos 375^\circ \cos 5^\circ - \sin 15^\circ \sin 365^\circ} $
Упростим числитель и знаменатель дроби по отдельности.
1. Числитель: $ \sin 75^\circ \cos 5^\circ - \cos 75^\circ \cos 85^\circ $.
Используем формулу приведения: $ \cos 85^\circ = \cos(90^\circ - 5^\circ) = \sin 5^\circ $.
Подставим это в выражение для числителя: $ \sin 75^\circ \cos 5^\circ - \cos 75^\circ \sin 5^\circ $.
Это выражение является формулой синуса разности: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $.
При $ \alpha = 75^\circ $ и $ \beta = 5^\circ $ получаем: $ \sin(75^\circ - 5^\circ) = \sin 70^\circ $.
2. Знаменатель: $ \cos 375^\circ \cos 5^\circ - \sin 15^\circ \sin 365^\circ $.
Используем периодичность тригонометрических функций ($ 360^\circ $):
$ \cos 375^\circ = \cos(360^\circ + 15^\circ) = \cos 15^\circ $.
$ \sin 365^\circ = \sin(360^\circ + 5^\circ) = \sin 5^\circ $.
Подставим это в выражение для знаменателя: $ \cos 15^\circ \cos 5^\circ - \sin 15^\circ \sin 5^\circ $.
Это выражение является формулой косинуса суммы: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $.
При $ \alpha = 15^\circ $ и $ \beta = 5^\circ $ получаем: $ \cos(15^\circ + 5^\circ) = \cos 20^\circ $.
3. Итоговое выражение:
$ \frac{\text{Числитель}}{\text{Знаменатель}} = \frac{\sin 70^\circ}{\cos 20^\circ} $.
Используем формулу приведения $ \sin 70^\circ = \sin(90^\circ - 20^\circ) = \cos 20^\circ $.
Получаем: $ \frac{\cos 20^\circ}{\cos 20^\circ} = 1 $.
Ответ: 1.