Номер 19.20, страница 61, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§19. Синус и косинус суммы и разности аргументов. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 19.20, страница 61.

19.20 Найдите корни уравнения на заданном промежутке:

а) $sin 0,2x cos 0,8x + cos 0,2x sin 0,8x = cos 3x cos 2x + sin 3x sin 2x, x \in [0; 3\pi];$

б) $cos 0,7x cos 1,3x - sin 0,7x sin 1,3x = sin 7x cos 9x - sin 9x cos 7x, x \in [-\pi; \pi].$

а) Исходное уравнение: $\sin 0,2x \cos 0,8x + \cos 0,2x \sin 0,8x = \cos 3x \cos 2x + \sin 3x \sin 2x$.
Применим формулу синуса суммы для левой части уравнения: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$.
$\sin 0,2x \cos 0,8x + \cos 0,2x \sin 0,8x = \sin(0,2x + 0,8x) = \sin x$.
Применим формулу косинуса разности для правой части уравнения: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$.
$\cos 3x \cos 2x + \sin 3x \sin 2x = \cos(3x - 2x) = \cos x$.
Уравнение принимает вид: $\sin x = \cos x$.
Разделим обе части уравнения на $\cos x$, предполагая, что $\cos x \neq 0$. Если $\cos x = 0$, то $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. В этих точках $\sin x = \pm 1$, а значит равенство $\sin x = \cos x$ не выполняется ($\pm 1 \neq 0$). Следовательно, деление на $\cos x$ не приводит к потере корней.
Получаем $\frac{\sin x}{\cos x} = 1$, что равносильно $\tan x = 1$.
Общее решение этого уравнения: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Теперь найдем корни, принадлежащие промежутку $[0; 3\pi]$. Для этого решим двойное неравенство:
$0 \le \frac{\pi}{4} + \pi n \le 3\pi$.
Разделим все части на $\pi$:
$0 \le \frac{1}{4} + n \le 3$.
Вычтем $\frac{1}{4}$ из всех частей:
$-\frac{1}{4} \le n \le 3 - \frac{1}{4}$
$-\frac{1}{4} \le n \le \frac{11}{4}$
$-0,25 \le n \le 2,75$.
Целочисленные значения $n$, удовлетворяющие этому неравенству: $n=0, 1, 2$.
Найдем соответствующие значения $x$:
При $n=0$: $x = \frac{\pi}{4} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{4}$.
При $n=1$: $x = \frac{\pi}{4} + \pi \cdot 1 = \frac{5\pi}{4}$.
При $n=2$: $x = \frac{\pi}{4} + \pi \cdot 2 = \frac{9\pi}{4}$.
Все найденные корни принадлежат заданному промежутку $[0; 3\pi]$.
Ответ: $\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}$.

б) Исходное уравнение: $\cos 0,7x \cos 1,3x - \sin 0,7x \sin 1,3x = \sin 7x \cos 9x - \sin 9x \cos 7x$.
Применим формулу косинуса суммы для левой части уравнения: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$.
$\cos 0,7x \cos 1,3x - \sin 0,7x \sin 1,3x = \cos(0,7x + 1,3x) = \cos(2x)$.
Применим формулу синуса разности для правой части уравнения: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$.
$\sin 7x \cos 9x - \sin 9x \cos 7x = \sin(7x - 9x) = \sin(-2x)$.
Так как синус — нечетная функция, $\sin(-2x) = -\sin(2x)$.
Уравнение принимает вид: $\cos(2x) = -\sin(2x)$.
Разделим обе части уравнения на $\cos(2x)$, так как если $\cos(2x) = 0$, то $\sin(2x) = \pm 1$, и равенство $0 = -(\pm 1)$ неверно. Потери корней не будет.
$1 = -\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)}$, что равносильно $\tan(2x) = -1$.
Общее решение этого уравнения: $2x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Отсюда $x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Теперь найдем корни, принадлежащие промежутку $[-\pi; \pi]$. Решим двойное неравенство:
$-\pi \le -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2} \le \pi$.
Разделим все части на $\pi$:
$-1 \le -\frac{1}{8} + \frac{n}{2} \le 1$.
Прибавим $\frac{1}{8}$ ко всем частям:
$-1 + \frac{1}{8} \le \frac{n}{2} \le 1 + \frac{1}{8}$
$-\frac{7}{8} \le \frac{n}{2} \le \frac{9}{8}$.
Умножим все части на 2:
$-\frac{14}{8} \le n \le \frac{18}{8}$
$-1,75 \le n \le 2,25$.
Целочисленные значения $n$, удовлетворяющие этому неравенству: $n=-1, 0, 1, 2$.
Найдем соответствующие значения $x$:
При $n=-1$: $x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi(-1)}{2} = -\frac{\pi}{8} - \frac{4\pi}{8} = -\frac{5\pi}{8}$.
При $n=0$: $x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi \cdot 0}{2} = -\frac{\pi}{8}$.
При $n=1$: $x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi \cdot 1}{2} = -\frac{\pi}{8} + \frac{4\pi}{8} = \frac{3\pi}{8}$.
При $n=2$: $x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi \cdot 2}{2} = -\frac{\pi}{8} + \pi = \frac{7\pi}{8}$.
Все найденные корни принадлежат заданному промежутку $[-\pi; \pi]$.
Ответ: $-\frac{5\pi}{8}, -\frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}, \frac{7\pi}{8}$.