Номер 19.16, страница 61, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§19. Синус и косинус суммы и разности аргументов. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 19.16, страница 61.

Решите уравнение:

19.16 a) $\sin 2x \cos x + \cos 2x \sin x = 1;$

б) $\cos 3x \cos 5x = \sin 3x \sin 5x.$

а) Дано уравнение $\sin2x \cos x + \cos2x \sin x = 1$.
Левая часть этого уравнения соответствует формуле синуса суммы двух углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$.
В данном случае, пусть $\alpha = 2x$ и $\beta = x$. Применив формулу, мы можем упростить уравнение:
$\sin(2x + x) = 1$
$\sin(3x) = 1$
Это является простейшим тригонометрическим уравнением. Общее решение для уравнения $\sin(y) = 1$ имеет вид $y = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).
Подставим $3x$ вместо $y$:
$3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$
Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3:
$x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

б) Дано уравнение $\cos3x \cos5x = \sin3x \sin5x$.
Перенесем выражение из правой части уравнения в левую, изменив знак:
$\cos3x \cos5x - \sin3x \sin5x = 0$
Учитывая, что умножение коммутативно ($\cos3x \cos5x = \cos5x \cos3x$ и $\sin3x \sin5x = \sin5x \sin3x$), левая часть уравнения соответствует формуле косинуса суммы двух углов: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$.
В данном случае, пусть $\alpha = 5x$ и $\beta = 3x$. Применив формулу, получаем:
$\cos(5x + 3x) = 0$
$\cos(8x) = 0$
Это является простейшим тригонометрическим уравнением. Общее решение для уравнения $\cos(y) = 0$ имеет вид $y = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Подставим $8x$ вместо $y$:
$8x = \frac{\pi}{2} + \pi k$
Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 8:
$x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{8}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{8}, k \in \mathbb{Z}$.