Номер 19.11, страница 60, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§19. Синус и косинус суммы и разности аргументов. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 19.11, страница 60.

19.11 a) $\cos \frac{5\pi}{8} \cos \frac{3\pi}{8} + \sin \frac{5\pi}{8} \sin \frac{3\pi}{8};$

б) $\sin \frac{2\pi}{15} \cos \frac{\pi}{5} + \cos \frac{2\pi}{15} \sin \frac{\pi}{5};$

в) $\cos \frac{\pi}{12} \cos \frac{\pi}{4} - \sin \frac{\pi}{12} \sin \frac{\pi}{4};$

г) $\sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{\pi}{4} - \cos \frac{\pi}{12} \sin \frac{\pi}{4}.$

а)

Данное выражение соответствует формуле косинуса разности: $cos(\alpha - \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta)$.
В нашем случае, $\alpha = \frac{5\pi}{8}$ и $\beta = \frac{3\pi}{8}$.
Следовательно, выражение можно переписать в виде:
$cos \frac{5\pi}{8} cos \frac{3\pi}{8} + sin \frac{5\pi}{8} sin \frac{3\pi}{8} = cos(\frac{5\pi}{8} - \frac{3\pi}{8})$
Вычислим разность в аргументе косинуса:
$\frac{5\pi}{8} - \frac{3\pi}{8} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$
Таким образом, получаем:
$cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

б)

Данное выражение соответствует формуле синуса суммы: $sin(\alpha + \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta)$.
В нашем случае, $\alpha = \frac{2\pi}{15}$ и $\beta = \frac{\pi}{5}$.
Следовательно, выражение можно переписать в виде:
$sin \frac{2\pi}{15} cos \frac{\pi}{5} + cos \frac{2\pi}{15} sin \frac{\pi}{5} = sin(\frac{2\pi}{15} + \frac{\pi}{5})$
Вычислим сумму в аргументе синуса, приведя дроби к общему знаменателю:
$\frac{2\pi}{15} + \frac{\pi}{5} = \frac{2\pi}{15} + \frac{3\pi}{15} = \frac{5\pi}{15} = \frac{\pi}{3}$
Таким образом, получаем:
$sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

в)

Данное выражение соответствует формуле косинуса суммы: $cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)$.
В нашем случае, $\alpha = \frac{\pi}{12}$ и $\beta = \frac{\pi}{4}$.
Следовательно, выражение можно переписать в виде:
$cos \frac{\pi}{12} cos \frac{\pi}{4} - sin \frac{\pi}{12} sin \frac{\pi}{4} = cos(\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{4})$
Вычислим сумму в аргументе косинуса, приведя дроби к общему знаменателю:
$\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} = \frac{4\pi}{12} = \frac{\pi}{3}$
Таким образом, получаем:
$cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$

г)

Данное выражение соответствует формуле синуса разности: $sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta)$.
В нашем случае, $\alpha = \frac{\pi}{12}$ и $\beta = \frac{\pi}{4}$.
Следовательно, выражение можно переписать в виде:
$sin \frac{\pi}{12} cos \frac{\pi}{4} - cos \frac{\pi}{12} sin \frac{\pi}{4} = sin(\frac{\pi}{12} - \frac{\pi}{4})$
Вычислим разность в аргументе синуса, приведя дроби к общему знаменателю:
$\frac{\pi}{12} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} = -\frac{2\pi}{12} = -\frac{\pi}{6}$
Таким образом, получаем $sin(-\frac{\pi}{6})$. Используя свойство нечетности синуса $sin(-x) = -sin(x)$:
$sin(-\frac{\pi}{6}) = -sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$
Ответ: $-\frac{1}{2}$