Номер 19.15, страница 61, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§19. Синус и косинус суммы и разности аргументов. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 19.15, страница 61.

Докажите тождество:

19.15 a) $ \frac{\sqrt{2} \cos \alpha - 2 \cos \left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)}{2 \sin \left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) - \sqrt{3} \sin \alpha} = -\sqrt{2} \operatorname{tg} \alpha; $

б) $ \frac{\cos \alpha - 2 \cos \left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)}{2 \sin \left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right) - \sqrt{3} \sin \alpha} = -\sqrt{3} \operatorname{tg} \alpha. $

а)

Чтобы доказать тождество $ \frac{\sqrt{2} \cos \alpha - 2 \cos(\frac{\pi}{4} - \alpha)}{2 \sin(\frac{\pi}{6} + \alpha) - \sqrt{3} \sin \alpha} = -\sqrt{2} \operatorname{tg} \alpha $, преобразуем его левую часть.

1. Упростим числитель, используя формулу косинуса разности $ \cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y $:

$ \sqrt{2} \cos \alpha - 2 \cos(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \sqrt{2} \cos \alpha - 2 (\cos \frac{\pi}{4} \cos \alpha + \sin \frac{\pi}{4} \sin \alpha) $

Подставим табличные значения $ \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $:

$ \sqrt{2} \cos \alpha - 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha) = \sqrt{2} \cos \alpha - \sqrt{2}(\cos \alpha + \sin \alpha) = \sqrt{2} \cos \alpha - \sqrt{2} \cos \alpha - \sqrt{2} \sin \alpha = -\sqrt{2} \sin \alpha $.

2. Упростим знаменатель, используя формулу синуса суммы $ \sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $:

$ 2 \sin(\frac{\pi}{6} + \alpha) - \sqrt{3} \sin \alpha = 2 (\sin \frac{\pi}{6} \cos \alpha + \cos \frac{\pi}{6} \sin \alpha) - \sqrt{3} \sin \alpha $

Подставим табличные значения $ \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $ и $ \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $:

$ 2 (\frac{1}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha) - \sqrt{3} \sin \alpha = \cos \alpha + \sqrt{3} \sin \alpha - \sqrt{3} \sin \alpha = \cos \alpha $.

3. Подставим упрощенные выражения для числителя и знаменателя обратно в дробь:

$ \frac{-\sqrt{2} \sin \alpha}{\cos \alpha} $

Используя определение тангенса $ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $, получаем:

$ -\sqrt{2} \operatorname{tg} \alpha $.

Левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

б)

Чтобы доказать тождество $ \frac{\cos \alpha - 2 \cos(\frac{\pi}{3} + \alpha)}{2 \sin(\alpha - \frac{\pi}{6}) - \sqrt{3} \sin \alpha} = -\sqrt{3} \operatorname{tg} \alpha $, преобразуем его левую часть.

1. Упростим числитель, используя формулу косинуса суммы $ \cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y $:

$ \cos \alpha - 2 \cos(\frac{\pi}{3} + \alpha) = \cos \alpha - 2 (\cos \frac{\pi}{3} \cos \alpha - \sin \frac{\pi}{3} \sin \alpha) $

Подставим табличные значения $ \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $ и $ \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $:

$ \cos \alpha - 2 (\frac{1}{2} \cos \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha) = \cos \alpha - \cos \alpha + \sqrt{3} \sin \alpha = \sqrt{3} \sin \alpha $.

2. Упростим знаменатель, используя формулу синуса разности $ \sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y $:

$ 2 \sin(\alpha - \frac{\pi}{6}) - \sqrt{3} \sin \alpha = 2 (\sin \alpha \cos \frac{\pi}{6} - \cos \alpha \sin \frac{\pi}{6}) - \sqrt{3} \sin \alpha $

Подставим табличные значения $ \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $:

$ 2 (\sin \alpha \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos \alpha \cdot \frac{1}{2}) - \sqrt{3} \sin \alpha = \sqrt{3} \sin \alpha - \cos \alpha - \sqrt{3} \sin \alpha = -\cos \alpha $.

3. Подставим упрощенные выражения для числителя и знаменателя обратно в дробь:

$ \frac{\sqrt{3} \sin \alpha}{-\cos \alpha} $

Используя определение тангенса $ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $, получаем:

$ -\sqrt{3} \operatorname{tg} \alpha $.

Левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.