Номер 19.21, страница 62, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§19. Синус и косинус суммы и разности аргументов. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 19.21, страница 62.

Решите уравнение:

19.21 а) $\sqrt{2} \cos \left(\frac{\pi}{4}-x\right)-\cos x=0,5$;

б) $\sqrt{2} \sin \left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)+\sin \frac{x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

а)

Исходное уравнение: $\sqrt{2} \cos(\frac{\pi}{4} - x) - \cos x = 0,5$.

Для решения применим формулу косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$.

Применим эту формулу к выражению $\cos(\frac{\pi}{4} - x)$:

$\cos(\frac{\pi}{4} - x) = \cos\frac{\pi}{4} \cos x + \sin\frac{\pi}{4} \sin x$.

Так как $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$\cos(\frac{\pi}{4} - x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x + \sin x)$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x + \sin x) - \cos x = 0,5$.

Упростим левую часть уравнения:

$\frac{2}{2}(\cos x + \sin x) - \cos x = 0,5$

$\cos x + \sin x - \cos x = 0,5$

$\sin x = 0,5$.

Теперь решим простейшее тригонометрическое уравнение $\sin x = 0,5$.

Корни этого уравнения находятся по формуле $x = (-1)^k \arcsin(0,5) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $\arcsin(0,5) = \frac{\pi}{6}$, то:

$x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б)

Исходное уравнение: $\sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) + \sin \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Для решения применим формулу синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$.

Применим эту формулу к выражению $\sin(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})$:

$\sin(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) = \sin\frac{\pi}{4} \cos\frac{x}{2} - \cos\frac{\pi}{4} \sin\frac{x}{2}$.

Так как $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$\sin(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos\frac{x}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin\frac{x}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2})$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2}) + \sin \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Упростим левую часть уравнения:

$\frac{2}{2}(\cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2}) + \sin \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos\frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь решим простейшее тригонометрическое уравнение. Пусть $t = \frac{x}{2}$, тогда $\cos t = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Корни этого уравнения находятся по формуле $t = \pm \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$, то:

$t = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Сделаем обратную замену $t = \frac{x}{2}$:

$\frac{x}{2} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$.

Умножим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = 2(\pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n) = \pm \frac{\pi}{3} + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$.