Номер 19.26, страница 62, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§19. Синус и косинус суммы и разности аргументов. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 19.26, страница 62.

19.26 Зная, что $cos \alpha = \frac{15}{17}$, $cos \beta = \frac{4}{5}$, $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$, найдите значение выражения:

а) $sin(\alpha - \beta)$;

б) $cos(\alpha - \beta)$.

Для решения задачи нам понадобятся значения $\sin \alpha$ и $\sin \beta$. Мы можем найти их, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

Поскольку углы $\alpha$ и $\beta$ принадлежат первой четверти ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ и $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$), их синусы будут положительными.

1. Найдем $\sin \alpha$:

$\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{15}{17}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{225}{289}} = \sqrt{\frac{289 - 225}{289}} = \sqrt{\frac{64}{289}} = \frac{8}{17}$

2. Найдем $\sin \beta$:

$\sin \beta = \sqrt{1 - \cos^2 \beta} = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{25 - 16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$

Теперь, имея все необходимые значения, мы можем вычислить выражения.

а) Для нахождения $\sin(\alpha - \beta)$ воспользуемся формулой синуса разности:

$\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$

Подставим известные и найденные значения:

$\sin(\alpha - \beta) = \frac{8}{17} \cdot \frac{4}{5} - \frac{15}{17} \cdot \frac{3}{5} = \frac{32}{85} - \frac{45}{85} = \frac{32 - 45}{85} = -\frac{13}{85}$

Ответ: $-\frac{13}{85}$

б) Для нахождения $\cos(\alpha - \beta)$ воспользуемся формулой косинуса разности:

$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$

Подставим известные и найденные значения:

$\cos(\alpha - \beta) = \frac{15}{17} \cdot \frac{4}{5} + \frac{8}{17} \cdot \frac{3}{5} = \frac{60}{85} + \frac{24}{85} = \frac{60 + 24}{85} = \frac{84}{85}$

Ответ: $\frac{84}{85}$