Номер 19.24, страница 62, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§19. Синус и косинус суммы и разности аргументов. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 19.24, страница 62.

19.24 Зная, что $\sin t = \frac{3}{5}$, $0 < t < \frac{\pi}{2}$, вычислите:

а) $\sin \left(\frac{\pi}{3} + t\right);$

Б) $\cos \left(\frac{\pi}{2} + t\right);$

в) $\sin \left(\frac{\pi}{2} + t\right);$

Г) $\cos \left(\frac{\pi}{3} + t\right).$

Для решения всех пунктов задачи нам понадобится значение $ \cos t $. Мы можем найти его, используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $.

По условию дано $ \sin t = \frac{3}{5} $. Подставим это значение в тождество:

$ \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 t = 1 $

$ \frac{9}{25} + \cos^2 t = 1 $

$ \cos^2 t = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} $

$ \cos t = \pm\sqrt{\frac{16}{25}} = \pm\frac{4}{5} $

Так как по условию $ 0 < t < \frac{\pi}{2} $, угол $ t $ находится в первой четверти, где косинус положителен. Следовательно, $ \cos t = \frac{4}{5} $.

Теперь мы можем вычислить значения для каждого пункта.

а) $ \sin\left(\frac{\pi}{3} + t\right) $

Используем формулу синуса суммы: $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta $.

$ \sin\left(\frac{\pi}{3} + t\right) = \sin\frac{\pi}{3}\cos t + \cos\frac{\pi}{3}\sin t $

Мы знаем, что $ \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $. Подставляем известные значения:

$ \sin\left(\frac{\pi}{3} + t\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{4\sqrt{3}}{10} + \frac{3}{10} = \frac{3 + 4\sqrt{3}}{10} $

Ответ: $ \frac{3 + 4\sqrt{3}}{10} $

б) $ \cos\left(\frac{\pi}{2} + t\right) $

Используем формулу приведения: $ \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin\alpha $.

$ \cos\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = -\sin t $

Подставляем известное значение $ \sin t = \frac{3}{5} $:

$ \cos\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = -\frac{3}{5} $

Ответ: $ -\frac{3}{5} $

в) $ \sin\left(\frac{\pi}{2} + t\right) $

Используем формулу приведения: $ \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos\alpha $.

$ \sin\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = \cos t $

Подставляем найденное значение $ \cos t = \frac{4}{5} $:

$ \sin\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = \frac{4}{5} $

Ответ: $ \frac{4}{5} $

г) $ \cos\left(\frac{\pi}{3} + t\right) $

Используем формулу косинуса суммы: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta $.

$ \cos\left(\frac{\pi}{3} + t\right) = \cos\frac{\pi}{3}\cos t - \sin\frac{\pi}{3}\sin t $

Мы знаем, что $ \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $ и $ \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Подставляем известные значения:

$ \cos\left(\frac{\pi}{3} + t\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{4}{10} - \frac{3\sqrt{3}}{10} = \frac{4 - 3\sqrt{3}}{10} $

Ответ: $ \frac{4 - 3\sqrt{3}}{10} $