Номер 20.1, страница 63, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§20. Тангенс суммы и разности аргументов. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 20.1, страница 63.

20.1 a) $\text{tg} \frac{\pi}{12}$;

б) $\text{tg} 105^{\circ}$;

в) $\text{tg} \frac{5\pi}{12}$;

г) $\text{tg} 165^{\circ}$.

а) Для вычисления $\tg\frac{\pi}{12}$ представим угол $\frac{\pi}{12}$ (что соответствует $15^\circ$) в виде разности стандартных углов, значения тангенсов которых известны. Например, $\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$ ($15^\circ = 60^\circ - 45^\circ$) или $\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}$ ($15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$). Воспользуемся вторым вариантом.
Применим формулу тангенса разности: $\tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg\alpha - \tg\beta}{1 + \tg\alpha\tg\beta}$.
$\tg\frac{\pi}{12} = \tg(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}) = \frac{\tg\frac{\pi}{4} - \tg\frac{\pi}{6}}{1 + \tg\frac{\pi}{4}\tg\frac{\pi}{6}}$.
Так как $\tg\frac{\pi}{4} = 1$ и $\tg\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$, подставим эти значения в формулу:
$\tg\frac{\pi}{12} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{3-\sqrt{3}}{3}}{\frac{3+\sqrt{3}}{3}} = \frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}$.
Для упрощения выражения избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $(3-\sqrt{3})$:
$\frac{(3-\sqrt{3})(3-\sqrt{3})}{(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})} = \frac{(3-\sqrt{3})^2}{3^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{9 - 6\sqrt{3} + 3}{9-3} = \frac{12 - 6\sqrt{3}}{6} = 2 - \sqrt{3}$.
Ответ: $2 - \sqrt{3}$

б) Для вычисления $\tg105^\circ$ представим угол $105^\circ$ в виде суммы стандартных углов: $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$.
Применим формулу тангенса суммы: $\tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{1 - \tg\alpha\tg\beta}$.
$\tg105^\circ = \tg(60^\circ + 45^\circ) = \frac{\tg60^\circ + \tg45^\circ}{1 - \tg60^\circ\tg45^\circ}$.
Так как $\tg60^\circ = \sqrt{3}$ и $\tg45^\circ = 1$, подставим эти значения:
$\tg105^\circ = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}$.
Умножим числитель и знаменатель на $(1 + \sqrt{3})$, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:
$\frac{(\sqrt{3} + 1)(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{1^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{1-3} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2} = -(2 + \sqrt{3})$.
Ответ: $-(2 + \sqrt{3})$

в) Для вычисления $\tg\frac{5\pi}{12}$ представим угол $\frac{5\pi}{12}$ (что соответствует $75^\circ$) в виде суммы стандартных углов: $\frac{5\pi}{12} = \frac{3\pi+2\pi}{12} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}$.
Применим формулу тангенса суммы: $\tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{1 - \tg\alpha\tg\beta}$.
$\tg\frac{5\pi}{12} = \tg(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}) = \frac{\tg\frac{\pi}{4} + \tg\frac{\pi}{6}}{1 - \tg\frac{\pi}{4}\tg\frac{\pi}{6}}$.
Так как $\tg\frac{\pi}{4} = 1$ и $\tg\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$, подставим эти значения:
$\tg\frac{5\pi}{12} = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{3+\sqrt{3}}{3}}{\frac{3-\sqrt{3}}{3}} = \frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив на сопряженное выражение $(3+\sqrt{3})$:
$\frac{(3+\sqrt{3})(3+\sqrt{3})}{(3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3})} = \frac{(3+\sqrt{3})^2}{3^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{9 + 6\sqrt{3} + 3}{9-3} = \frac{12 + 6\sqrt{3}}{6} = 2 + \sqrt{3}$.
Ответ: $2 + \sqrt{3}$

г) Для вычисления $\tg165^\circ$ можно использовать формулы приведения. Представим угол $165^\circ$ как $180^\circ - 15^\circ$.
$\tg165^\circ = \tg(180^\circ - 15^\circ)$.
По формуле приведения $\tg(180^\circ - \alpha) = -\tg\alpha$. Следовательно:
$\tg165^\circ = -\tg15^\circ$.
Значение $\tg15^\circ$ было найдено в пункте а): $\tg15^\circ = \tg\frac{\pi}{12} = 2 - \sqrt{3}$.
Таким образом, $\tg165^\circ = -(2 - \sqrt{3}) = \sqrt{3} - 2$.
Альтернативный способ — представить $165^\circ$ как сумму $120^\circ + 45^\circ$:
$\tg165^\circ = \tg(120^\circ + 45^\circ) = \frac{\tg120^\circ + \tg45^\circ}{1 - \tg120^\circ\tg45^\circ} = \frac{-\sqrt{3} + 1}{1 - (-\sqrt{3})\cdot1} = \frac{1 - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$.
$\frac{(1 - \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})} = \frac{(1 - \sqrt{3})^2}{1 - 3} = \frac{1 - 2\sqrt{3} + 3}{-2} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{-2} = -2 + \sqrt{3} = \sqrt{3} - 2$.
Ответ: $\sqrt{3} - 2$