Номер 20.5, страница 64, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§20. Тангенс суммы и разности аргументов. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 20.5, страница 64.

20.5 Известно, что $tg \alpha = \frac{2}{5}$, $tg \left(\frac{\pi}{2} + \beta\right) = -3$. Вычислите:

а) $tg(\alpha + \beta)$;

б) $tg(\alpha - \beta)$.

Для решения задачи сначала найдем значение $ \text{tg} \, \beta $.Нам дано, что $ \text{tg}\left(\frac{\pi}{2} + \beta\right) = -3 $.
Используем тригонометрическую формулу приведения: $ \text{tg}\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\text{ctg} \, x $.
Применив эту формулу, получаем: $ -\text{ctg} \, \beta = -3 $, откуда следует, что $ \text{ctg} \, \beta = 3 $.
Так как тангенс и котангенс являются взаимно обратными функциями ($ \text{tg} \, \beta = \frac{1}{\text{ctg} \, \beta} $), находим:
$ \text{tg} \, \beta = \frac{1}{3} $.
Теперь у нас есть значения тангенсов для обоих углов: $ \text{tg} \, \alpha = \frac{2}{5} $ и $ \text{tg} \, \beta = \frac{1}{3} $.

а) Вычислим $ \text{tg}(\alpha + \beta) $.
Воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов:
$ \text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg} \, \alpha + \text{tg} \, \beta}{1 - \text{tg} \, \alpha \cdot \text{tg} \, \beta} $
Подставим известные значения в формулу:
$ \text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\frac{2}{5} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{2 \cdot 3 + 1 \cdot 5}{15}}{1 - \frac{2}{15}} = \frac{\frac{6+5}{15}}{\frac{15-2}{15}} = \frac{\frac{11}{15}}{\frac{13}{15}} = \frac{11}{15} \cdot \frac{15}{13} = \frac{11}{13} $
Ответ: $ \frac{11}{13} $.

б) Вычислим $ \text{tg}(\alpha - \beta) $.
Воспользуемся формулой тангенса разности двух углов:
$ \text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg} \, \alpha - \text{tg} \, \beta}{1 + \text{tg} \, \alpha \cdot \text{tg} \, \beta} $
Подставим известные значения в формулу:
$ \text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\frac{2}{5} - \frac{1}{3}}{1 + \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{2 \cdot 3 - 1 \cdot 5}{15}}{1 + \frac{2}{15}} = \frac{\frac{6-5}{15}}{\frac{15+2}{15}} = \frac{\frac{1}{15}}{\frac{17}{15}} = \frac{1}{15} \cdot \frac{15}{17} = \frac{1}{17} $
Ответ: $ \frac{1}{17} $.