Номер 20.10, страница 64, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§20. Тангенс суммы и разности аргументов. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 20.10, страница 64.

20.10 Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $[-\pi; 2\pi]$:

а) $\frac{\sqrt{3} - \text{tg } x}{1 + \sqrt{3} \text{ tg } x} = 1;$

б) $\frac{\text{tg } \frac{\pi}{5} - \text{tg } 2x}{\text{tg } \frac{\pi}{5} \text{ tg } 2x + 1} = \sqrt{3}.$

а)

Исходное уравнение:

$$ \frac{\sqrt{3} - \tg x}{1 + \sqrt{3} \tg x} = 1 $$

Заметим, что $\sqrt{3} = \tg(\frac{\pi}{3})$. Подставим это в уравнение:

$$ \frac{\tg \frac{\pi}{3} - \tg x}{1 + \tg \frac{\pi}{3} \tg x} = 1 $$

Левая часть уравнения представляет собой формулу тангенса разности:

$$ \tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg \alpha - \tg \beta}{1 + \tg \alpha \tg \beta} $$

Применяя эту формулу, где $\alpha = \frac{\pi}{3}$ и $\beta = x$, получаем:

$$ \tg\left(\frac{\pi}{3} - x\right) = 1 $$

Область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения определяется условиями, при которых существуют тангенсы и знаменатель не равен нулю:
1. $\cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2. $1 + \sqrt{3} \tg x \neq 0 \implies \tg x \neq -\frac{1}{\sqrt{3}} \implies x \neq -\frac{\pi}{6} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Решим уравнение $\tg(\frac{\pi}{3} - x) = 1$:

$$ \frac{\pi}{3} - x = \arctan(1) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$

$$ \frac{\pi}{3} - x = \frac{\pi}{4} + \pi k $$

$$ -x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + \pi k $$

$$ -x = \frac{3\pi - 4\pi}{12} + \pi k $$

$$ -x = -\frac{\pi}{12} + \pi k $$

$$ x = \frac{\pi}{12} - \pi k $$

Так как $k$ — любое целое число, можно заменить $-k$ на $k'$, где $k'$ также любое целое число. Для удобства оставим запись с $k$:

$$ x = \frac{\pi}{12} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$

Эта серия корней не совпадает с ограничениями ОДЗ.

Теперь найдем корни, принадлежащие отрезку $[-\pi, 2\pi]$. Для этого решим двойное неравенство:

$$ -\pi \le \frac{\pi}{12} + \pi k \le 2\pi $$

Разделим все части на $\pi$:

$$ -1 \le \frac{1}{12} + k \le 2 $$

Вычтем $\frac{1}{12}$ из всех частей:

$$ -1 - \frac{1}{12} \le k \le 2 - \frac{1}{12} $$

$$ -\frac{13}{12} \le k \le \frac{23}{12} $$

$$ -1.08(3) \le k \le 1.91(6) $$

Целые значения $k$, удовлетворяющие этому неравенству: $k = -1, 0, 1$.

Найдем соответствующие значения $x$:

• При $k=-1$: $x = \frac{\pi}{12} - \pi = -\frac{11\pi}{12}$.
• При $k=0$: $x = \frac{\pi}{12}$.
• При $k=1$: $x = \frac{\pi}{12} + \pi = \frac{13\pi}{12}$.

Ответ: $-\frac{11\pi}{12}, \frac{\pi}{12}, \frac{13\pi}{12}$.

б)

Исходное уравнение:

$$ \frac{\tg \frac{\pi}{5} - \tg 2x}{1 + \tg \frac{\pi}{5} \tg 2x} = \sqrt{3} $$

Левая часть уравнения представляет собой формулу тангенса разности $\tg(\alpha - \beta)$, где $\alpha = \frac{\pi}{5}$ и $\beta = 2x$.

$$ \tg\left(\frac{\pi}{5} - 2x\right) = \sqrt{3} $$

ОДЗ:
1. $\cos 2x \neq 0 \implies 2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.
2. $1 + \tg \frac{\pi}{5} \tg 2x \neq 0 \implies \tg 2x \neq -\cot \frac{\pi}{5} \implies 2x \neq \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{5} + \pi m = \frac{7\pi}{10} + \pi m \implies x \neq \frac{7\pi}{20} + \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z}$.

Решим уравнение $\tg(\frac{\pi}{5} - 2x) = \sqrt{3}$:

$$ \frac{\pi}{5} - 2x = \arctan(\sqrt{3}) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$

$$ \frac{\pi}{5} - 2x = \frac{\pi}{3} + \pi k $$

$$ -2x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{5} + \pi k $$

$$ -2x = \frac{5\pi - 3\pi}{15} + \pi k $$

$$ -2x = \frac{2\pi}{15} + \pi k $$

$$ x = -\frac{\pi}{15} - \frac{\pi k}{2} $$

Заменим $-k$ на $k'$:

$$ x = -\frac{\pi}{15} + \frac{\pi k'}{2}, \quad k' \in \mathbb{Z} $$

Эта серия корней не совпадает с ограничениями ОДЗ.

Теперь найдем корни, принадлежащие отрезку $[-\pi, 2\pi]$. Решим двойное неравенство:

$$ -\pi \le -\frac{\pi}{15} + \frac{\pi k}{2} \le 2\pi $$

Разделим все части на $\pi$:

$$ -1 \le -\frac{1}{15} + \frac{k}{2} \le 2 $$

Прибавим $\frac{1}{15}$ ко всем частям:

$$ -1 + \frac{1}{15} \le \frac{k}{2} \le 2 + \frac{1}{15} $$

$$ -\frac{14}{15} \le \frac{k}{2} \le \frac{31}{15} $$

Умножим все части на 2:

$$ -\frac{28}{15} \le k \le \frac{62}{15} $$

$$ -1.8(6) \le k \le 4.1(3) $$

Целые значения $k$, удовлетворяющие этому неравенству: $k = -1, 0, 1, 2, 3, 4$.

Найдем соответствующие значения $x = -\frac{\pi}{15} + \frac{\pi k}{2}$:

• При $k=-1$: $x = -\frac{\pi}{15} - \frac{\pi}{2} = \frac{-2\pi - 15\pi}{30} = -\frac{17\pi}{30}$.
• При $k=0$: $x = -\frac{\pi}{15}$.
• При $k=1$: $x = -\frac{\pi}{15} + \frac{\pi}{2} = \frac{-2\pi + 15\pi}{30} = \frac{13\pi}{30}$.
• При $k=2$: $x = -\frac{\pi}{15} + \pi = \frac{14\pi}{15}$.
• При $k=3$: $x = -\frac{\pi}{15} + \frac{3\pi}{2} = \frac{-2\pi + 45\pi}{30} = \frac{43\pi}{30}$.
• При $k=4$: $x = -\frac{\pi}{15} + 2\pi = \frac{- \pi + 30\pi}{15} = \frac{29\pi}{15}$.

Ответ: $-\frac{17\pi}{30}, -\frac{\pi}{15}, \frac{13\pi}{30}, \frac{14\pi}{15}, \frac{43\pi}{30}, \frac{29\pi}{15}$.