Номер 20.13, страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§20. Тангенс суммы и разности аргументов. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 20.13, страница 65.

20.13 Известно, что $\sin \alpha = -\frac{12}{13}$, $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$. Найдите:

a) $\text{tg} \left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)$;

б) $\text{tg} \left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right)$.

Для решения задачи нам понадобится значение $ \text{tg} \, \alpha $. Найдем его, используя данные из условия.

1. Находим $ \cos \alpha $

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $.

Выразим из него $ \cos^2 \alpha $:

$ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha $

Подставим известное значение $ \sin \alpha = -\frac{12}{13} $:

$ \cos^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{12}{13}\right)^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169} $

Отсюда $ \cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{25}{169}} = \pm\frac{5}{13} $.

Согласно условию, угол $ \alpha $ принадлежит интервалу $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $, что соответствует третьей координатной четверти. В этой четверти косинус имеет отрицательное значение, следовательно:

$ \cos \alpha = -\frac{5}{13} $

2. Находим $ \text{tg} \, \alpha $

Тангенс угла – это отношение синуса к косинусу:

$ \text{tg} \, \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-12/13}{-5/13} = \frac{12}{5} $

Теперь, зная $ \text{tg} \, \alpha $, можем найти требуемые значения.

а) $ \text{tg}\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) $

Используем формулу тангенса суммы: $ \text{tg}(x+y) = \frac{\text{tg} \, x + \text{tg} \, y}{1 - \text{tg} \, x \cdot \text{tg} \, y} $.

$ \text{tg}\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\text{tg} \, \alpha + \text{tg} \, \frac{\pi}{4}}{1 - \text{tg} \, \alpha \cdot \text{tg} \, \frac{\pi}{4}} $

Мы знаем, что $ \text{tg} \, \frac{\pi}{4} = 1 $. Подставляем это значение и $ \text{tg} \, \alpha = \frac{12}{5} $ в формулу:

$ \text{tg}\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\frac{12}{5} + 1}{1 - \frac{12}{5}} = \frac{\frac{12}{5} + \frac{5}{5}}{\frac{5}{5} - \frac{12}{5}} = \frac{\frac{17}{5}}{-\frac{7}{5}} = -\frac{17}{7} $

Ответ: $ -\frac{17}{7} $.

б) $ \text{tg}\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) $

Используем формулу тангенса разности: $ \text{tg}(x-y) = \frac{\text{tg} \, x - \text{tg} \, y}{1 + \text{tg} \, x \cdot \text{tg} \, y} $.

$ \text{tg}\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\text{tg} \, \alpha - \text{tg} \, \frac{\pi}{4}}{1 + \text{tg} \, \alpha \cdot \text{tg} \, \frac{\pi}{4}} $

Подставляем известные значения $ \text{tg} \, \alpha = \frac{12}{5} $ и $ \text{tg} \, \frac{\pi}{4} = 1 $:

$ \text{tg}\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\frac{12}{5} - 1}{1 + \frac{12}{5}} = \frac{\frac{12}{5} - \frac{5}{5}}{\frac{5}{5} + \frac{12}{5}} = \frac{\frac{7}{5}}{\frac{17}{5}} = \frac{7}{17} $

Ответ: $ \frac{7}{17} $.