Номер 21.3, страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§21. Формулы двойного аргумента и формулы понижения степени. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 21.3, страница 65.

Вычислите:

21.3 a) $2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ$;

б) $(\cos 75^\circ - \sin 75^\circ)^2$;

в) $\cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ$;

г) $(\cos 15^\circ + \sin 15^\circ)^2$.

а) Для вычисления выражения $2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ$ воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$.

В нашем случае $\alpha = 15^\circ$. Подставляем это значение в формулу:

$2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ = \sin(2 \cdot 15^\circ) = \sin(30^\circ)$.

Значение синуса 30 градусов является табличным: $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

б) Для вычисления выражения $(\cos 75^\circ - \sin 75^\circ)^2$ раскроем скобки, используя формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(\cos 75^\circ - \sin 75^\circ)^2 = \cos^2 75^\circ - 2 \cos 75^\circ \sin 75^\circ + \sin^2 75^\circ$.

Сгруппируем слагаемые: $(\cos^2 75^\circ + \sin^2 75^\circ) - 2 \sin 75^\circ \cos 75^\circ$.

Выражение в скобках, $\cos^2 75^\circ + \sin^2 75^\circ$, согласно основному тригонометрическому тождеству, равно 1.

Выражение $2 \sin 75^\circ \cos 75^\circ$ является формулой синуса двойного угла, $\sin(2\alpha)$, где $\alpha = 75^\circ$. Таким образом, $2 \sin 75^\circ \cos 75^\circ = \sin(2 \cdot 75^\circ) = \sin(150^\circ)$.

Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, находим значение $\sin(150^\circ)$: $\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.

Подставляем полученные значения в исходное выражение: $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

в) Выражение $\cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ$ соответствует формуле косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$.

В данном случае $\alpha = 15^\circ$. Применим формулу:

$\cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ = \cos(2 \cdot 15^\circ) = \cos(30^\circ)$.

Значение косинуса 30 градусов является табличным: $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

г) Для вычисления выражения $(\cos 15^\circ + \sin 15^\circ)^2$ раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(\cos 15^\circ + \sin 15^\circ)^2 = \cos^2 15^\circ + 2 \cos 15^\circ \sin 15^\circ + \sin^2 15^\circ$.

Сгруппируем слагаемые: $(\cos^2 15^\circ + \sin^2 15^\circ) + 2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ$.

Выражение в скобках, $\cos^2 15^\circ + \sin^2 15^\circ$, по основному тригонометрическому тождеству равно 1.

Выражение $2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ$ является формулой синуса двойного угла, $\sin(2\alpha)$, где $\alpha = 15^\circ$. Таким образом, $2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ = \sin(2 \cdot 15^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.

Подставляем полученные значения в исходное выражение: $1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$.