Номер 21.6, страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§21. Формулы двойного аргумента и формулы понижения степени. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 21.6, страница 66.

Докажите тождество:

21.6 a) $\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = \frac{1}{2} \sin x;$

б) $\cos^2 \frac{x}{4} - \sin^2 \frac{x}{4} = \cos \frac{x}{2};$

в) $\sin 2x \cos 2x = \frac{1}{2} \sin 4x;$

г) $\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2} = \cos x.$

а) Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть, используя формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.
Из этой формулы следует, что $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.
В нашем случае, пусть $\alpha = \frac{x}{2}$. Подставим это значение в формулу:
$\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} = \frac{1}{2}\sin\left(2 \cdot \frac{x}{2}\right) = \frac{1}{2}\sin x$.
Таким образом, мы показали, что левая часть тождества равна правой: $\frac{1}{2}\sin x = \frac{1}{2}\sin x$.
Ответ: тождество доказано.

б) Для доказательства данного тождества используем формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.
В левой части тождества мы видим выражение, соответствующее этой формуле.
Пусть $\alpha = \frac{x}{4}$. Подставим это значение в формулу:
$\cos^2\frac{x}{4} - \sin^2\frac{x}{4} = \cos\left(2 \cdot \frac{x}{4}\right) = \cos\left(\frac{x}{2}\right)$.
Левая часть тождества равна правой: $\cos\frac{x}{2} = \cos\frac{x}{2}$.
Ответ: тождество доказано.

в) Для доказательства этого тождества снова воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, из которой следует, что $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.
Рассмотрим левую часть тождества: $\sin 2x \cos 2x$.
Пусть $\alpha = 2x$. Подставим это значение в преобразованную формулу:
$\sin 2x \cos 2x = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 2x) = \frac{1}{2}\sin 4x$.
Мы получили, что левая часть тождества равна правой: $\frac{1}{2}\sin 4x = \frac{1}{2}\sin 4x$.
Ответ: тождество доказано.

г) Для доказательства этого тождества снова воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.
Левая часть тождества имеет вид $\cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2}$.
Пусть $\alpha = \frac{x}{2}$. Подставим это значение в формулу:
$\cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2} = \cos\left(2 \cdot \frac{x}{2}\right) = \cos x$.
Левая часть тождества равна правой: $\cos x = \cos x$.
Ответ: тождество доказано.