Номер 21.10, страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§21. Формулы двойного аргумента и формулы понижения степени. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 21.10, страница 66.

21.10 Известно, что $ \cos x = 0,8 $, $ 0 < x < \frac{\pi}{2} $. Найдите:

а) $ \sin 2x $;

б) $ \cos 2x $;

в) $ \operatorname{tg} 2x $;

г) $ \operatorname{ctg} 2x $.

Поскольку нам известно, что $ \cos x = 0,8 $ и угол $ x $ находится в интервале $ 0 < x < \frac{\pi}{2} $ (первая четверть), то значение $ \sin x $ будет положительным. Найдем $ \sin x $ с помощью основного тригонометрического тождества $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $:
$ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - (0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36 $
$ \sin x = \sqrt{0,36} = 0,6 $.

а) sin 2x;
Для нахождения $ \sin 2x $ воспользуемся формулой синуса двойного угла: $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $.
Подставляя известные значения, получаем:
$ \sin 2x = 2 \cdot 0,6 \cdot 0,8 = 0,96 $.
Ответ: $ 0,96 $

б) cos 2x;
Для нахождения $ \cos 2x $ воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $ \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x $.
Подставляя известные значения, получаем:
$ \cos 2x = (0,8)^2 - (0,6)^2 = 0,64 - 0,36 = 0,28 $.
Ответ: $ 0,28 $

в) tg 2x;
Для нахождения $ \tg 2x $ воспользуемся определением тангенса: $ \tg 2x = \frac{\sin 2x}{\cos 2x} $.
Подставляя значения, найденные в пунктах а) и б), получаем:
$ \tg 2x = \frac{0,96}{0,28} = \frac{96}{28} = \frac{24}{7} $.
Ответ: $ \frac{24}{7} $

г) ctg 2x.
Для нахождения $ \ctg 2x $ воспользуемся определением котангенса: $ \ctg 2x = \frac{1}{\tg 2x} $.
Подставляя значение, найденное в пункте в), получаем:
$ \ctg 2x = \frac{1}{\frac{24}{7}} = \frac{7}{24} $.
Ответ: $ \frac{7}{24} $