Номер 21.5, страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§21. Формулы двойного аргумента и формулы понижения степени. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 21.5, страница 66.

21.5 a) $\frac{\text{tg} \frac{\pi}{8}}{1 - \text{tg}^2 \frac{\pi}{8}};$

б) $\frac{\text{tg} 75^\circ}{1 - \text{tg}^2 75^\circ}.$

а) Для решения данного примера воспользуемся формулой тангенса двойного угла:

$$ \tg(2\alpha) = \frac{2 \tg \alpha}{1 - \tg^2 \alpha} $$

Заметим, что данное в задаче выражение $\frac{\tg \frac{\pi}{8}}{1 - \tg^2 \frac{\pi}{8}}$ очень похоже на правую часть формулы. Мы можем преобразовать формулу, разделив обе части на 2:

$$ \frac{1}{2} \tg(2\alpha) = \frac{\tg \alpha}{1 - \tg^2 \alpha} $$

В нашем случае угол $\alpha = \frac{\pi}{8}$. Подставим это значение в преобразованную формулу:

$$ \frac{\tg \frac{\pi}{8}}{1 - \tg^2 \frac{\pi}{8}} = \frac{1}{2} \tg(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = \frac{1}{2} \tg(\frac{2\pi}{8}) = \frac{1}{2} \tg(\frac{\pi}{4}) $$

Значение тангенса угла $\frac{\pi}{4}$ (или $45^\circ$) является табличным и равно 1:

$$ \tg(\frac{\pi}{4}) = 1 $$

Подставим это значение в наше выражение:

$$ \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} $$

Ответ: $\frac{1}{2}$

б) Данный пример решается аналогично предыдущему. Используем ту же зависимость, выведенную из формулы тангенса двойного угла:

$$ \frac{\tg \alpha}{1 - \tg^2 \alpha} = \frac{1}{2} \tg(2\alpha) $$

В выражении $\frac{\tg 75^\circ}{1 - \tg^2 75^\circ}$ угол $\alpha = 75^\circ$. Подставим это значение в формулу:

$$ \frac{\tg 75^\circ}{1 - \tg^2 75^\circ} = \frac{1}{2} \tg(2 \cdot 75^\circ) = \frac{1}{2} \tg(150^\circ) $$

Теперь найдем значение $\tg(150^\circ)$. Угол $150^\circ$ находится во второй координатной четверти. Воспользуемся формулой приведения $\tg(180^\circ - x) = -\tg(x)$:

$$ \tg(150^\circ) = \tg(180^\circ - 30^\circ) = -\tg(30^\circ) $$

Значение $\tg(30^\circ)$ является табличным:

$$ \tg(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3} $$

Следовательно:

$$ \tg(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3} $$

Подставим найденное значение обратно в наше выражение:

$$ \frac{1}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{6} $$

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{6}$