Номер 21.9, страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§21. Формулы двойного аргумента и формулы понижения степени. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 21.9, страница 66.

21.9 Известно, что $\sin t = \frac{5}{13}$, $\frac{\pi}{2} < t < \pi$. Найдите:

а) $\sin 2t$;

б) $\cos 2t$;

в) $\operatorname{tg} 2t$;

г) $\operatorname{ctg} 2t$.

По условию задачи, угол $t$ находится в интервале $ \frac{\pi}{2} < t < \pi $, что соответствует второй координатной четверти. В этой четверти синус положителен, а косинус отрицателен.

Нам известно значение синуса: $ \sin t = \frac{5}{13} $. Чтобы найти значения тригонометрических функций двойного угла, нам также понадобится значение косинуса.

Найдем $ \cos t $ с помощью основного тригонометрического тождества: $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $.

$ \cos^2 t = 1 - \sin^2 t = 1 - (\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169} $.

Поскольку угол $t$ находится во второй четверти, $ \cos t $ должен быть отрицательным. Следовательно,

$ \cos t = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13} $.

Теперь мы можем найти требуемые значения.

а) sin2t;

Используем формулу синуса двойного угла: $ \sin 2t = 2 \sin t \cos t $.

Подставляем известные значения $ \sin t $ и $ \cos t $:

$ \sin 2t = 2 \cdot (\frac{5}{13}) \cdot (-\frac{12}{13}) = -\frac{2 \cdot 5 \cdot 12}{13 \cdot 13} = -\frac{120}{169} $.

Ответ: $ -\frac{120}{169} $

б) cos2t;

Используем формулу косинуса двойного угла. Удобнее всего использовать формулу, зависящую только от синуса, значение которого дано в условии: $ \cos 2t = 1 - 2 \sin^2 t $.

Подставляем значение $ \sin t $:

$ \cos 2t = 1 - 2 \cdot (\frac{5}{13})^2 = 1 - 2 \cdot \frac{25}{169} = 1 - \frac{50}{169} = \frac{169 - 50}{169} = \frac{119}{169} $.

Для проверки можно использовать другую формулу: $ \cos 2t = \cos^2 t - \sin^2 t $.

$ \cos 2t = (-\frac{12}{13})^2 - (\frac{5}{13})^2 = \frac{144}{169} - \frac{25}{169} = \frac{119}{169} $.

Результаты совпадают.

Ответ: $ \frac{119}{169} $

в) tg2t;

Тангенс угла определяется как отношение синуса к косинусу: $ \text{tg} \, 2t = \frac{\sin 2t}{\cos 2t} $.

Подставляем значения, найденные в пунктах а) и б):

$ \text{tg} \, 2t = \frac{-120/169}{119/169} = -\frac{120}{119} $.

Ответ: $ -\frac{120}{119} $

г) ctg2t.

Котангенс - это величина, обратная тангенсу: $ \text{ctg} \, 2t = \frac{1}{\text{tg} \, 2t} $. Также его можно найти по формуле $ \text{ctg} \, 2t = \frac{\cos 2t}{\sin 2t} $.

Используя значение из пункта в):

$ \text{ctg} \, 2t = \frac{1}{-120/119} = -\frac{119}{120} $.

Ответ: $ -\frac{119}{120} $