Номер 21.14, страница 67, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§21. Формулы двойного аргумента и формулы понижения степени. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 21.14, страница 67.

21.14 a) $\frac{\sin 2t - 2 \sin t}{\cos t - 1}$

б) $\frac{\cos 2t - \cos^2 t}{1 - \cos^2 t}$

в) $\sin 2t \operatorname{ctg} t - 1$

г) $(\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t)\sin 2t$

а) Упростим выражение $\frac{\sin 2t - 2 \sin t}{\cos t - 1}$.

Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2t = 2 \sin t \cos t$ в числителе:

$\frac{2 \sin t \cos t - 2 \sin t}{\cos t - 1}$

Вынесем общий множитель $2 \sin t$ за скобки в числителе:

$\frac{2 \sin t (\cos t - 1)}{\cos t - 1}$

Сократим дробь на $(\cos t - 1)$, при условии, что $\cos t - 1 \neq 0$, то есть $\cos t \neq 1$:

$2 \sin t$

Ответ: $2 \sin t$.

б) Упростим выражение $\frac{\cos 2t - \cos^2 t}{1 - \cos^2 t}$.

В знаменателе используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, из которого следует, что $1 - \cos^2 t = \sin^2 t$.

В числителе применим одну из формул косинуса двойного угла: $\cos 2t = \cos^2 t - \sin^2 t$.

Подставим полученные выражения в исходную дробь:

$\frac{(\cos^2 t - \sin^2 t) - \cos^2 t}{\sin^2 t}$

Упростим числитель:

$\frac{-\sin^2 t}{\sin^2 t}$

Сократим дробь на $\sin^2 t$, при условии, что $\sin^2 t \neq 0$, то есть $\sin t \neq 0$:

$-1$

Ответ: $-1$.

в) Упростим выражение $\sin 2t \operatorname{ctg} t - 1$.

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2t = 2 \sin t \cos t$ и определение котангенса $\operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t}$.

Подставим их в выражение:

$(2 \sin t \cos t) \cdot \frac{\cos t}{\sin t} - 1$

Сократим на $\sin t$ (это возможно, так как для существования $\operatorname{ctg} t$ необходимо, чтобы $\sin t \neq 0$):

$2 \cos t \cdot \cos t - 1 = 2 \cos^2 t - 1$

Полученное выражение является формулой косинуса двойного угла: $2 \cos^2 t - 1 = \cos 2t$.

Ответ: $\cos 2t$.

г) Упростим выражение $(\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t) \sin 2t$.

Сначала преобразуем сумму в скобках, используя определения тангенса $\operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t}$ и котангенса $\operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t}$:

$\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t = \frac{\sin t}{\cos t} + \frac{\cos t}{\sin t}$

Приведем дроби к общему знаменателю $\sin t \cos t$:

$\frac{\sin^2 t + \cos^2 t}{\sin t \cos t}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, получаем:

$\frac{1}{\sin t \cos t}$

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$\frac{1}{\sin t \cos t} \cdot \sin 2t$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2t = 2 \sin t \cos t$:

$\frac{1}{\sin t \cos t} \cdot (2 \sin t \cos t)$

Сократим дробь на $\sin t \cos t$ (это возможно, так как для существования $\operatorname{tg} t$ и $\operatorname{ctg} t$ необходимо, чтобы $\sin t \neq 0$ и $\cos t \neq 0$):

$2$

Ответ: $2$.