Номер 21.20, страница 67, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§21. Формулы двойного аргумента и формулы понижения степени. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 21.20, страница 67.

21.20 а) $\sin^2 2t = \frac{1 - \cos 4t}{2}$;

б) $2 \sin^2 \frac{t}{2} + \cos t = 1$;

в) $2 \sin^2 2t = 1 + \sin \left( \frac{3\pi}{2} - 4t \right)$;

г) $2 \cos^2 t - \cos 2t = 1$.

а) Докажем, что данное равенство является тождеством. Воспользуемся формулой понижения степени для синуса, которая является следствием формулы косинуса двойного угла ($\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$): $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$. Применим эту формулу, подставив в нее $x = 2t$. Тогда левая часть формулы станет $\sin^2(2t)$, а правая — $\frac{1 - \cos(2 \cdot 2t)}{2} = \frac{1 - \cos 4t}{2}$. Таким образом, мы получаем тождество $\sin^2 2t = \frac{1 - \cos 4t}{2}$, которое совпадает с исходным уравнением. Следовательно, данное равенство верно для любого действительного значения $t$. Ответ: $t \in \mathbb{R}$.

б) Преобразуем левую часть уравнения $2 \sin^2 \frac{t}{2} + \cos t = 1$, используя формулу понижения степени для синуса: $2\sin^2 x = 1 - \cos 2x$. В нашем случае $x = \frac{t}{2}$, тогда $2x = t$. Подставим это в формулу: $2\sin^2 \frac{t}{2} = 1 - \cos t$. Теперь подставим полученное выражение в исходное уравнение: $(1 - \cos t) + \cos t = 1$. Упрощая, получаем $1 = 1$. Это верное равенство, которое не зависит от переменной $t$. Следовательно, исходное уравнение является тождеством и справедливо для всех действительных чисел $t$. Ответ: $t \in \mathbb{R}$.

в) Рассмотрим уравнение $2 \sin^2 2t = 1 + \sin(\frac{3\pi}{2} - 4t)$. Сначала упростим правую часть, используя формулу приведения: $\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos \alpha$. В нашем случае $\alpha = 4t$, поэтому $\sin(\frac{3\pi}{2} - 4t) = -\cos 4t$. Исходное уравнение принимает вид: $2 \sin^2 2t = 1 - \cos 4t$. Теперь воспользуемся формулой понижения степени для синуса $2\sin^2 x = 1 - \cos 2x$. Положим $x = 2t$, тогда $2x=4t$. Формула принимает вид $2\sin^2 2t = 1 - \cos 4t$. Мы видим, что преобразованное уравнение является известным тригонометрическим тождеством. Значит, исходное уравнение также является тождеством и выполняется для всех действительных значений $t$. Ответ: $t \in \mathbb{R}$.

г) Рассмотрим уравнение $2 \cos^2 t - \cos 2t = 1$. Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos 2t = 2 \cos^2 t - 1$. Подставим это выражение в исходное уравнение: $2 \cos^2 t - (2 \cos^2 t - 1) = 1$. Раскроем скобки: $2 \cos^2 t - 2 \cos^2 t + 1 = 1$. После приведения подобных членов получаем верное равенство $1 = 1$. Это равенство не зависит от переменной $t$. Следовательно, исходное уравнение является тождеством и справедливо для всех действительных чисел $t$. Ответ: $t \in \mathbb{R}$.