Номер 21.25, страница 68, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§21. Формулы двойного аргумента и формулы понижения степени. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 21.25, страница 68.

21.25 a) $\sin x \cos x = \frac{1}{4}$;

б) $\sin 4x \cos 4x = \frac{1}{2}$;

В) $\cos^2 \frac{x}{3} - \sin^2 \frac{x}{3} = \frac{1}{2}$;

Г) $\sin^2 x - \cos^2 x = \frac{1}{2}$.

a) Дано уравнение $\sin x \cos x = \frac{1}{4}$.
Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$. Отсюда $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin(2\alpha)$.
Применив эту формулу к нашему уравнению, получим:
$\frac{1}{2} \sin(2x) = \frac{1}{4}$.
Умножим обе части уравнения на 2:
$\sin(2x) = \frac{1}{2}$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решение имеет вид:
$2x = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Поскольку $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$, то:
$2x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$.
Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:
$x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

б) Дано уравнение $\sin 4x \cos 4x = \frac{1}{2}$.
Аналогично пункту а), используем формулу $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin(2\alpha)$, где в данном случае $\alpha = 4x$.
Уравнение принимает вид:
$\frac{1}{2} \sin(2 \cdot 4x) = \frac{1}{2}$,
$\frac{1}{2} \sin(8x) = \frac{1}{2}$.
Умножим обе части уравнения на 2:
$\sin(8x) = 1$.
Это частный случай решения уравнения $\sin t = a$. Решение имеет вид:
$8x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Разделим обе части на 8, чтобы найти $x$:
$x = \frac{\pi}{16} + \frac{2\pi k}{8} = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{4}$, $k \in \mathbb{Z}$.

в) Дано уравнение $\cos^2 \frac{x}{3} - \sin^2 \frac{x}{3} = \frac{1}{2}$.
Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$. В данном случае $\alpha = \frac{x}{3}$.
Применив формулу, получаем:
$\cos(2 \cdot \frac{x}{3}) = \frac{1}{2}$,
$\cos(\frac{2x}{3}) = \frac{1}{2}$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решение имеет вид:
$\frac{2x}{3} = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Поскольку $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$, то:
$\frac{2x}{3} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$.
Умножим обе части на $\frac{3}{2}$, чтобы найти $x$:
$x = \pm \frac{\pi}{3} \cdot \frac{3}{2} + 2\pi k \cdot \frac{3}{2} = \pm \frac{\pi}{2} + 3\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{2} + 3\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

г) Дано уравнение $\sin^2 x - \cos^2 x = \frac{1}{2}$.
Вынесем минус за скобки в левой части уравнения:
$-(\cos^2 x - \sin^2 x) = \frac{1}{2}$.
Используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$:
$-\cos(2x) = \frac{1}{2}$.
Умножим обе части на -1:
$\cos(2x) = -\frac{1}{2}$.
Решение этого уравнения имеет вид:
$2x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Поскольку $\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$, то:
$2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$.
Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:
$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.