Номер 21.28, страница 68, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. §21. Формулы двойного аргумента и формулы понижения степени - номер 21.28, страница 68.

Условие.

21.28 a) $\sin^2 2x = 1$;

б) $\cos^2 4x = \frac{1}{2}$;

в) $\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{3}{4}$;

г) $\cos^2 \frac{x}{4} = \frac{1}{4}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) Исходное уравнение: $\sin^2 2x = 1$.
Это уравнение равносильно тому, что $\sin 2x = \pm 1$.
Данное равенство выполняется, когда аргумент синуса является нечетным кратным $\frac{\pi}{2}$.
Запишем это в виде уравнения: $2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное уравнение: $\cos^2 4x = \frac{1}{2}$.
Для решения используем формулу понижения степени: $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$.
В данном случае $\alpha = 4x$. Подставим в формулу:
$\frac{1 + \cos(2 \cdot 4x)}{2} = \frac{1}{2}$
$\frac{1 + \cos(8x)}{2} = \frac{1}{2}$
Умножим обе части на 2:
$1 + \cos(8x) = 1$
$\cos(8x) = 0$
Это частный случай тригонометрического уравнения. Решение для $\cos t = 0$ имеет вид $t = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Следовательно, $8x = \frac{\pi}{2} + \pi n$.
Разделив обе части на 8, находим $x$:
$x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{8}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{8}, n \in \mathbb{Z}$.

в) Исходное уравнение: $\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{3}{4}$.
Для решения используем формулу понижения степени: $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$.
В данном случае $\alpha = \frac{x}{2}$. Подставим в формулу:
$\frac{1 - \cos(2 \cdot \frac{x}{2})}{2} = \frac{3}{4}$
$\frac{1 - \cos x}{2} = \frac{3}{4}$
Умножим обе части на 2:
$1 - \cos x = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
Выразим $\cos x$:
$\cos x = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$
Общее решение для уравнения $\cos x = a$ имеет вид $x = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Для $a = -\frac{1}{2}$, имеем $\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$.
Следовательно, $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) Исходное уравнение: $\cos^2 \frac{x}{4} = \frac{1}{4}$.
Для решения используем формулу понижения степени: $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$.
В данном случае $\alpha = \frac{x}{4}$. Подставим в формулу:
$\frac{1 + \cos(2 \cdot \frac{x}{4})}{2} = \frac{1}{4}$
$\frac{1 + \cos(\frac{x}{2})}{2} = \frac{1}{4}$
Умножим обе части на 2:
$1 + \cos(\frac{x}{2}) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
Выразим $\cos(\frac{x}{2})$:
$\cos(\frac{x}{2}) = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$
Общее решение для уравнения $\cos t = -\frac{1}{2}$ есть $t = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Поскольку $t = \frac{x}{2}$, получаем:
$\frac{x}{2} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$
Умножим обе части на 2, чтобы найти $x$:
$x = \pm \frac{4\pi}{3} + 4\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{4\pi}{3} + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$.